北京大学 2023年强基第17题

B【解析】设 $n$ 除以这 9 个数的余数为 $r_{2}(n), r_{3}(n), \cdots, r_{20}(n)$ ，则 $r_{k}(n+1)-r_{k}(n)=$ $\left\{\begin{array}{cc}1 & k \nmid n+1 \\ 1-k & k \mid n+1\end{array}\right.$ ，故 $R(n)=R(n+1)$ 当且仅当 $9=\sum_{k \mid n+1} k$ ，为了方便起见我们把右边的全部 $k$ 构成的集合记为 $A$ ，则注意到 $8 \in A \Rightarrow 2,4 \in A, 6 \in A \Rightarrow 2,3 \in A$ 两种情况均会导致总和超过 9 ，若 $7 \in A$ ，则 $A=\{2,7\}$ ，但因为不能有别的因子，此时 $n+1$ 只能为 14,98 。 若 $7 \notin A, 5 \in A$ ，则 $A=\{4,5\} \Rightarrow 2 \in A$ 也不行。最后只剩下 $A=\{2,3,4\}$ ，但此时 $6 \in A$ ，也不符合条件。综上所述，只有两个 $n$ 满足，选 $B$ 。