北京大学 2023年强基第18题
📝 题目
已知 $a\lt b\lt c\lt d$ ，且 $x, y, z, t$ 是 $a, b, c, d$ 的一个排列，则 $(x-y)^{2}+(y-z)^{2}+(z-t)^{2}+(t-x)^{2}$ 得到的不同数共有（ ）个。 A． 4 B． 5 C． 6 D．以上答案均不对
💡 答案解析
D【解析】注意到轮换性，只有 $a, d$ 相邻和相隔这两种情况： 若相邻，则不妨设 $x=a, t=d$ ，则有 $(b-a)^{2}+(c-b)^{2}+(d-c)^{2}+(d-a)^{2}$ 和 $(c-a)^{2}+ (c-b)^{2}+(d-b)^{2}+(d-a)^{2}$ 两种情况。 若相隔，不妨设 $x=a, z=d$ ，则只有 $(b-a)+(d-b)^{2}+(c-a)^{2}+(d-c)^{2}$ 一种情况。 容易验证以上三种情况的数都互不相同，故一共 3 个不同的数，选 $D$ 。
📋 详细解题步骤
步骤 1/8
目标：分析表达式结构，发现轮换对称性
观察表达式 (x-y)^2+(y-z)^2+(z-t)^2+(t-x)^2，发现它关于四个变量轮换对称，因此只需考虑a和d的相对位置。
提示：注意轮换对称性可以简化分类。
步骤 2/8
目标：分类讨论：a和d相邻的情况
若a和d相邻，不妨设x=a, t=d，则y,z为b,c的排列。有两种子情况：y=b,z=c或y=c,z=b。
提示：相邻意味着在排列中a和d之间只有一个数。
步骤 3/8
目标：计算第一种相邻情况：x=a, y=b, z=c, t=d
代入得 (a-b)^2+(b-c)^2+(c-d)^2+(d-a)^2 = (b-a)^2+(c-b)^2+(d-c)^2+(d-a)^2。
提示：注意平方项顺序不影响结果。
步骤 4/8
目标：计算第二种相邻情况：x=a, y=c, z=b, t=d
代入得 (a-c)^2+(c-b)^2+(b-d)^2+(d-a)^2 = (c-a)^2+(c-b)^2+(d-b)^2+(d-a)^2。
提示：注意 (a-c)^2 = (c-a)^2。
步骤 5/8
目标：分类讨论：a和d相隔的情况
若a和d相隔，不妨设x=a, z=d，则y和t为b,c的排列，但由对称性只有一种情况：y=b, t=c。
提示：相隔意味着a和d之间有两个数。
步骤 6/8
目标：计算相隔情况：x=a, y=b, z=d, t=c
代入得 (a-b)^2+(b-d)^2+(d-c)^2+(c-a)^2 = (b-a)^2+(d-b)^2+(d-c)^2+(c-a)^2。
提示：注意 (c-a)^2 = (a-c)^2。
步骤 7/8
目标：验证三个结果互不相同
由于a
提示：可以取具体数值验证，如1,2,3,4。
步骤 8/8
目标：得出结论
不同数共有3个，选项D“以上答案均不对”正确。
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