北京大学 2023年强基第19题
📝 题目
已知正整数 $x_{1}\lt x_{2}\lt \cdots\lt x_{9}$ 且 $x_{1}+x_{2}+\cdots+x_{9}=220$ ，则在 $x_{1}+x_{2}+\cdots+x_{5}$ 取到最大值的情况下，$x_{9}-x_{1}$ 的最小值是（ ）。 A． 8 B． 9 C． 10 D．以上答案均不对
💡 答案解析
B【解析】记 $\displaystyle T=x_{1}+\cdots+x_{5} \leq x_{5}+x_{5}-1+x_{5}-2+x_{5}-3+x_{5}-4 \Rightarrow x_{5} \geq \frac{T+10}{5}$ ，所以 $\displaystyle 220-T=x_{6}+\cdots+x_{9} \geq x_{5}+1+x_{5}+2+x_{5}+3+x_{5}+4 \geq \frac{4 T}{5}+18 \Rightarrow T \leq 110$ 。 若 $x_{9}-x_{1}=8$ ，则此时 9 个数是连续整数，从而 $220=9 x_{5} \Rightarrow x_{5} \notin \mathbb{N}$ ，矛盾！ 因此 $x_{9}-x_{1} \geq 9$ ，而 $20,21,22,23,24,26,27,28,29$ 满足条件，故选 $B$ 。
📋 详细解题步骤
步骤 1/4
目标：建立T与x5的不等式关系
设T=x1+...+x5，由于x1
公式：T ≤ 5x5 - 10 ⇒ x5 ≥ (T+10)/5
提示：利用递增性放缩
步骤 2/4
目标：建立T与x6,...,x9的不等式关系
220-T=x6+...+x9，由于x6≥x5+1, x7≥x5+2, x8≥x5+3, x9≥x5+4，故220-T ≥ 4x5+10，代入x5≥(T+10)/5得220-T ≥ 4(T+10)/5+10，化简得T≤110。
公式：220-T ≥ 4x5+10, x5≥(T+10)/5 ⇒ T≤110
提示：利用递增性放缩并代入
步骤 3/4
目标：分析T取最大值110时的情形
T最大为110，此时所有不等式取等，即x1,...,x5为连续整数，x6,...,x9也为连续整数且比x5大1到4，故9个数为连续整数。设x5=a，则总和9a=220，a不是整数，矛盾。
公式：9a=220 ⇒ a=220/9不是整数
提示：连续整数和公式
步骤 4/4
目标：确定x9-x1的最小可能值
由上述矛盾知x9-x1不能为8，故至少为9。构造例子：20,21,22,23,24,26,27,28,29，总和220，x9-x1=9，满足条件。因此最小值为9。
公式：x9-x1≥9
提示：构造验证
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