北京大学 2022年强基第1题

答案： 1 解：设 $2 n+1=a^{2}, 3 n+1=b^{2}$ 化简得到 $3 a^{2}-2 b^{2}=1$ ，即 $(3 a)^{2}-6 b^{2}=3$ ， 由于 $(3,1)$ 为佩尔方程 $x^{2}-6 y^{2}=3$ 的一组解， 由佩尔方程的性质知其有无穷多组解， 对其任意一组解 $\left(x_{k}, y_{k}\right)$ ，由于 $x_{k}^{2}=6 y_{k}^{2}+3$ ，所以 $x_{k}$ 为被 3 整除的正奇数 则 $\displaystyle a=\frac{x_{k}}{3}, n=\frac{a^{2}-1}{2}$ ，知这样的 $n$ 均为正整数 由于 $1 \leq n \leq 2022$ ，知 $1\lt a \leq 63$ ，所以 $3\lt x_{k} \leq 189$ 由佩尔方程的通解知 $\displaystyle x_{k}=\frac{(3+2 \sqrt{6})(5+2 \sqrt{6})^{k}+(3-2 \sqrt{6})(5-2 \sqrt{6})^{k}}{2}$ ， 由特征方程知其所对应的递推公式为 $x_{k+2}=10 x_{k+1}-x_{k}, x_{1}=3, x_{2}=27$ ，得 $x_{3}=267$ ， 因此仅 $x_{2}=27$ 满足条件，此时 $n=40$ ． 所以这样的 $n$ 为 1 个。