北京大学 2022年强基第2题

答案： 2 解：对凹四边形 $A B C D$ ，由 $\angle C A D=\angle A C B$ ，有 $A D / / B C$ ；由 $\angle A B D=\angle B D C$ ， \begin{figure} \includegraphics[alt={},max width=\textwidth]{https://cdn.mathpix.com/cropped/833959c6-5591-4173-a2c3-d084825e3daf-114.jpg?height=407&width=480&top_left_y=1476&top_left_x=1178} \captionsetup{labelformat=empty} \caption{图1：第2题图} \end{figure} 有 $A B / / C D$ ．故四边形 $A B C D$ 为平行四边形， 如图，设对角线 $A C$ 中点为 $O$ ．我们下面固定对角线 $A C$ ，则点 $D$ 在固定的射线 $A D$ 上，我们只需求出该射线上满足 $\angle C D O=50^{\circ}$ 的点 $D$ 个数即可， 记过 $C, O$ 且与射线 $A D$ 相切的圆为 $\omega$（易知这样圆存在且唯一），切点为 $D^{\prime}$ ，由圆幂定理知 $A D^{\prime 2}=A O \cdot A C$ 从而 $A D^{\prime}=\sqrt{2} A O$ ， 首先说明 $\angle C D^{\prime} O\gt 50^{\circ}$ ，该结论等价于 $180^{\circ}-\angle C A D^{\prime}-2 \angle A D^{\prime} O\gt 50^{\circ}$ ，即 $\angle A D^{\prime} O\lt 45^{\circ}$ ，设 $\angle A D^{\prime} O=\theta$ ，易知 $\theta\lt 90^{\circ}$ ，在 $\triangle A D^{\prime} O$ 中，由正弦定理， $$ \frac{A O}{\sin \theta}=\frac{A D^{\prime}}{\sin \left(140^{\circ}-\theta\right)} $$