北京大学 2022年强基第3题
📝 题目
已知正整数 $y$ 不超过 2022 且满足 100 整除 $2^{y}+y$ ，则这样的 $y$ 的个数为 $\_\_\_\_$。
💡 答案解析
答案： 20 解：由于 $100 \mid 2^{y}+y$ ，所以 $4 \mid 2^{y}+y$ ， 显然 $y \neq 1$ ，所以 $y \geq 2$ ，所以 $4 \mid 2^{y}$ ，进而得到 $4 \mid y$ ， 设 $y=4 f(1 \leq f \leq 504)$ ， 则 $5 \mid 2^{4 f}+4 f$ ，由于 $2^{4} \equiv 1(\bmod 5)$ ，所以 $4 f+1 \equiv 0(\bmod 5)$ ，即 $f \equiv 1(\bmod 5)$ 设 $f=5 d+1$ ，则 $y=4 f=20 d+4(0 \leq d \leq 100)$ ， 则 $2^{20 d+4}+20 d+4 \equiv 0(\bmod 25)$ ， 由欧拉定理，$\varphi(25)=20$ ，所以 $2^{20} \equiv 1(\bmod 25)$ ， 进而得到 $0 \equiv 2^{20 d+4}+20 d+4 \equiv 20 d+20(\bmod 25)$ ， 所以 $25|20 d+20,5| d+1$ ，所以 $d=5 k+4(0 \leq k \leq 19)$ ， 因此这样的 $y$ 有 20 个。
📋 详细解题步骤
步骤 1/6
目标：由100整除条件推出4整除条件
因为100|2^y+y，所以4|2^y+y。由于y≥2时4|2^y，故4|y。
公式：4|2^y+y, 4|2^y ⇒ 4|y
提示：注意y=1时2^1+1=3不被4整除，排除。
步骤 2/6
目标：设y=4f并利用5整除条件
设y=4f，1≤f≤504。由5|2^y+y得5|2^(4f)+4f。因2^4≡1(mod5)，故4f+1≡0(mod5)，即f≡1(mod5)。
公式：2^4≡1(mod5), 4f+1≡0(mod5) ⇒ f≡1(mod5)
提示：模5运算简化指数。
步骤 3/6
目标：设f=5d+1得到y表达式
设f=5d+1，则y=4f=20d+4，0≤d≤100。
公式：y=20d+4
提示：d的范围由y≤2022确定。
步骤 4/6
目标：利用25整除条件
由100|2^y+y得25|2^y+y。代入y=20d+4，利用欧拉定理2^20≡1(mod25)，得2^(20d+4)≡2^4≡16(mod25)，故16+20d+4≡20d+20≡0(mod25)。
公式：2^20≡1(mod25), 20d+20≡0(mod25)
提示：欧拉定理：φ(25)=20。
步骤 5/6
目标：解模25同余式
由20d+20≡0(mod25)得25|20(d+1)，即5|d+1，故d≡4(mod5)。设d=5k+4，0≤k≤19。
公式：d=5k+4, 0≤k≤19
提示：d最大100，k最大19。
步骤 6/6
目标：计算y的个数
k从0到19共20个值，每个对应一个y=20(5k+4)+4=100k+84，均在1到2022之间，故y有20个。
公式：y=100k+84, k=0,...,19
提示：验证y≤2022：k=19时y=1984<2022。
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