北京大学 2022年强基第4题
📝 题目
已知 $[x]$ 表示不超过 $x$ 的整数，如 $[1.2]=1,[-1.2]=-2$ ，已知 $\displaystyle \alpha=\frac{1+\sqrt{5}}{2}$ ，则 $\left[\alpha^{12}\right]=$ $\_\_\_\_$。
💡 答案解析
答案： 321 解：记 $\displaystyle a_{n}=\left(\frac{1+\sqrt{5}}{2}\right)^{n}+\left(\frac{1-\sqrt{5}}{2}\right)^{n}$ ， 则由其所对应的特征根方程知数列 $a_{n}$ 满足 $a_{n+2}=a_{n+1}+a_{n}$ 且 $a_{0}=2, a_{1}=1$ ， 依次可得 $a_{2}=3, a_{3}=4, a_{4}=7, a_{5}=11, a_{6}=18, a_{7}=29, a_{8}=47, a_{9}=76, a_{10}=123, a_{11}=199, a_{12}=322$ 而 $\displaystyle \left|\frac{1-\sqrt{5}}{2}\right| \in(0,1)$ ，所以 $\displaystyle \left(\frac{1-\sqrt{5}}{2}\right)^{12} \in(0,1)$ ， 所以 $\displaystyle a_{12}\gt \left(\frac{1+\sqrt{5}}{2}\right)^{12}\gt a_{12}-1$ ，所以 $\left[\alpha^{12}\right]=321$ 。
📋 详细解题步骤
步骤 1/5
目标：构造共轭数列
记 α = (1+√5)/2，β = (1-√5)/2，则 α+β=1，αβ=-1。构造数列 a_n = α^n + β^n。
公式：a_n = α^n + β^n
提示：利用共轭根式简化计算
步骤 2/5
目标：推导递推关系
由特征根方程 x^2 = x + 1，得 a_{n+2} = a_{n+1} + a_n。计算初始值 a_0 = 2，a_1 = 1。
公式：a_{n+2} = a_{n+1} + a_n
提示：斐波那契数列的变体
步骤 3/5
目标：计算 a_12
递推：a_2=3, a_3=4, a_4=7, a_5=11, a_6=18, a_7=29, a_8=47, a_9=76, a_10=123, a_11=199, a_12=322。
提示：逐步计算避免错误
步骤 4/5
目标：估计 β^12 的范围
|β| = (√5-1)/2 ≈ 0.618，故 0 < β^12 < 1。因此 α^12 = a_12 - β^12 ∈ (321, 322)。
公式：0 < β^12 < 1
提示：β的绝对值小于1
步骤 5/5
目标：取整得结果
由于 α^12 ∈ (321, 322)，所以 [α^12] = 321。
提示：向下取整
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