北京大学 2022年强基第5题
📝 题目
已知六位数 $\overline{y_{1} y_{2} f_{3} f_{4} d_{5} d_{6}}$ ，满足 $\displaystyle \frac{\overline{y_{1} y_{2} f_{3} f_{4} d_{5} d_{6}}}{f_{4} d_{5} d_{6}}=\left(1+\overline{y_{1} y_{2} f_{3}}\right)^{2}$ ，则所有满足条件的六位数之和为 $\_\_\_\_$ －（ $\overline{f_{4} d_{5} d_{6}}$ 不必为三位数）
💡 答案解析
答案： 2065020 解：假设 $\overline{y_{1} y_{2} f_{3}}=m, \overline{f_{4} d_{5} d_{6}}=n$ ，则 $100 \leq m \leq 999,1 \leq n \leq 999$ 由此可得原命题等价于 $\displaystyle 1000 \frac{m}{n}+1=(1+m)^{2}$ ，即 $\displaystyle \frac{1000}{n}=2+m$ 由于 $102 \leq 2+m \leq 1002$ ，所以 $1 \leq n \leq 9$ 且 $n \mid 1000$ ， 所以 $n=1,2,4,5,8$ ，因此对应的 $(m, n)$ 有 5 种不同的取值，对应的六位数为 $\displaystyle 1000 m+n=1000 \times\left(\frac{1000}{n}-2\right)+n$ ，即998001，498002，248004，198005，123008 这样的六位数之和为 2065020。
📋 详细解题步骤
步骤 1/6
目标：设未知数简化问题
设 m = y1y2f3（三位数），n = f4d5d6（三位数，但不必是三位数），则原六位数为 1000m + n。
公式：六位数 = 1000m + n
提示：注意 n 的范围是 1 到 999，m 的范围是 100 到 999。
步骤 2/6
目标：将原方程转化为关于 m 和 n 的方程
原方程化为 (1000m + n)/n = (1 + m)^2，即 1000m/n + 1 = (1 + m)^2。
公式：1000m/n + 1 = (1 + m)^2
提示：两边同时除以 n 得到左边。
步骤 3/6
目标：化简方程
展开右边得 1 + 2m + m^2，两边减1得 1000m/n = 2m + m^2，即 1000/n = 2 + m。
公式：1000/n = 2 + m
提示：注意 m 不为0，可约去 m。
步骤 4/6
目标：确定 n 的范围和可能取值
由 100 ≤ m ≤ 999 得 102 ≤ 2+m ≤ 1002，所以 1000/n 在 [102,1002] 内，故 n ≤ 9。又 n 整除 1000，所以 n=1,2,4,5,8。
公式：n | 1000, 1 ≤ n ≤ 9
提示：n 是正整数且整除1000。
步骤 5/6
目标：计算对应的 m 和六位数
由 m = 1000/n - 2，得 m 分别为 998, 498, 248, 198, 123。六位数为 1000m + n，即 998001, 498002, 248004, 198005, 123008。
公式：六位数 = 1000*(1000/n - 2) + n
提示：代入 n 计算即可。
步骤 6/6
目标：求和
将五个六位数相加：998001+498002+248004+198005+123008 = 2065020。
公式：求和
提示：注意进位。
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