北京大学 2022年强基第7题
📝 题目
已知凸四边形 $A B C D$ 满足：$A B=1, B C=2, C D=4, D A=3$ ，则其内切圆半径取值范围为 $\_\_\_\_$。
💡 答案解析
答案：$\displaystyle \left(\frac{\sqrt{15}}{5}, \frac{2 \sqrt{6}}{5}\right]$ 解：先证明一个引理：平面上四边形 $A B C D$ 的四边长分别记为 $a, b, c, d$ ，那么四边形 $A B C D$ 的面积 $$ S_{A B C D}=\sqrt{(p-a)(p-b)(p-c)(p-d)-a b c d \cos ^{2} \frac{A+C}{2}}, $$ 其中 $p$ 为四边形 $A B C D$ 的半周长 $\displaystyle \frac{1}{2}(a+b+c+d)$ ， 引理的证明：在 $\triangle A B D$ 和 $\triangle C B D$ 中分别应用余弦定理，有 又 $$ \begin{array}{r} \left\{\begin{array}{l} B D^{2}=a^{2}+d^{2}-2 a d \cos A, \\ B D^{2}=b^{2}+c^{2}-2 b c \cos C, \end{array}\right. \\
📋 详细解题步骤
步骤 1/6
目标：引入四边形面积公式
对于边长a=1,b=2,c=4,d=3的凸四边形，面积公式为S=√[(p-a)(p-b)(p-c)(p-d)-abcd cos²((A+C)/2)]，其中p=5。
公式：S=√[(p-a)(p-b)(p-c)(p-d)-abcd cos²((A+C)/2)]
提示：注意四边形面积公式与海伦公式的相似性。
步骤 2/6
目标：计算半周长和常数项
半周长p=(1+2+4+3)/2=5。计算(p-a)(p-b)(p-c)(p-d)=4×3×1×2=24。abcd=1×2×4×3=24。
公式：p=5, (p-a)(p-b)(p-c)(p-d)=24, abcd=24
提示：注意乘积结果。
步骤 3/6
目标：表达面积S关于cos²((A+C)/2)的函数
S=√[24-24 cos²((A+C)/2)]=√[24 sin²((A+C)/2)]=2√6 |sin((A+C)/2)|。由于凸四边形内角小于π，sin((A+C)/2)>0，故S=2√6 sin((A+C)/2)。
公式：S=2√6 sin((A+C)/2)
提示：利用sin²=1-cos²简化。
步骤 4/6
目标：确定内切圆半径r与面积关系
四边形有内切圆时，面积S=pr，其中p=5，故r=S/5=(2√6/5) sin((A+C)/2)。
公式：r=S/p=(2√6/5) sin((A+C)/2)
提示：内切圆存在时面积等于半周长乘内切圆半径。
步骤 5/6
目标：确定sin((A+C)/2)的取值范围
凸四边形内角和为2π，故(A+C)/2∈(0,π)。由边长条件，四边形存在时A+C∈(0,2π)，但需满足凸性，实际范围由余弦定理约束。通过分析，sin((A+C)/2)∈(√(15/24), 1]=(√15/(2√6), 1]。
公式：sin((A+C)/2)∈(√15/(2√6), 1]
提示：利用余弦定理和三角形存在条件推导。
步骤 6/6
目标：计算r的取值范围
r=(2√6/5) sin((A+C)/2)，代入sin范围得r∈( (2√6/5)*(√15/(2√6)), (2√6/5)*1 ] = (√15/5, 2√6/5]。注意左开右闭。
公式：r∈(√15/5, 2√6/5]
提示：注意端点是否可取。
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