北京大学 2022年强基第8题
📝 题目
已知 $a, b \in \mathbb{R}, z_{1}=5-a+(6-4 b) \mathrm{i}, z_{2}=2+2 a+(3+b) \mathrm{i}, z_{3}=3-a+(1+3 b) \mathrm{i}$ ，当 $\left|z_{1}\right|+\left|z_{2}\right|+\left|z_{3}\right|$ 最小时， $3 a+6 b=$ $\_\_\_\_$。
💡 答案解析
答案：$\displaystyle \frac{33}{7}$ 解：已知 $\left|z_{1}\right|+\left|z_{2}\right|+\left|z_{3}\right| \geq\left|z_{1}+z_{2}+z_{3}\right|=|10+10 \mathrm{i}|=10 \sqrt{2}$ ， 当且仅当 $\displaystyle \arg z_{1}=\arg z_{2}=\arg z_{3}=\frac{\pi}{4}$ 时取等， 此时 $5-a=6-4 b, 2+2 a=3+b, 3-a=1+3 b$ ，解得 $\displaystyle a=\frac{5}{7}, b=\frac{3}{7}$ ， 所以当 $\left|z_{1}\right|+\left|z_{2}\right|+\left|z_{3}\right|$ 取最小值时 $\displaystyle 3 a+6 b=\frac{33}{7}$ 。
📋 详细解题步骤
步骤 1/4
目标：利用复数模的三角不等式求最小值条件
由三角不等式，|z1|+|z2|+|z3| ≥ |z1+z2+z3|，计算z1+z2+z3 = (5-a+2+2a+3-a) + (6-4b+3+b+1+3b)i = 10 + 10i，模为10√2。等号成立当且仅当z1, z2, z3辐角相等。
公式：|z1|+|z2|+|z3| ≥ |z1+z2+z3|
提示：注意等号成立条件是所有复数同向，即辐角相等。
步骤 2/4
目标：根据辐角相等列出方程
设辐角为π/4，则实部等于虚部。对z1: 5-a = 6-4b；对z2: 2+2a = 3+b；对z3: 3-a = 1+3b。
公式：若arg z = π/4，则Re(z)=Im(z)
提示：注意三个方程必须同时成立。
步骤 3/4
目标：解方程组求a和b
由前两个方程：5-a=6-4b 和 2+2a=3+b，化简得 -a+4b=1 和 2a-b=1。解得 a=5/7, b=3/7。代入第三个方程验证成立。
公式：线性方程组求解
提示：可用代入法或消元法。
步骤 4/4
目标：计算3a+6b的值
代入a=5/7, b=3/7，得3a+6b = 3*(5/7) + 6*(3/7) = 15/7 + 18/7 = 33/7。
公式：代数运算
提示：注意分数加法。
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