北京大学 2022年强基第9题
📝 题目
已知复数 $z$ ，满足 $\displaystyle \frac{z}{2}$ 与 $\displaystyle \frac{2}{z}$ 的实部和虚部均属于 $[-1,1]$ ，则 $z$ 在复平面上形成轨迹的面积为 $\_\_\_\_$。
💡 答案解析
答案： $12-2 \pi$ \begin{figure} \includegraphics[alt={},max width=\textwidth]{https://cdn.mathpix.com/cropped/833959c6-5591-4173-a2c3-d084825e3daf-118.jpg?height=550&width=555&top_left_y=270&top_left_x=1218} \captionsetup{labelformat=empty} \caption{图2：第9题图} \end{figure} 设满足要求的复数 $z=x+y i(x, y \in \mathbb{R})$ 则原命题即为 $\displaystyle \frac{2 x}{x^{2}+y^{2}}+\frac{2 y}{x^{2}+y^{2}} i$ 与 $\displaystyle \frac{x}{2}+\frac{y}{2} i$ 的实部和虚部均属于 $[-1,1]$ ， 因此 $\displaystyle -1 \leq \frac{2 x}{x^{2}+y^{2}} \leq 1,-1 \leq \frac{2 y}{x^{2}+y^{2}} \leq 1,-1 \leq \frac{x}{2} \leq 1,-1 \leq \frac{y}{2} \leq 1$ ， 整理后得 $-2 \leq x \leq 2,-2 \leq y \leq 2$ $(x-1)^{2}+y^{2} \geq 1,(x+1)^{2}+y^{2} \geq 1, x^{2}+(y-1)^{2} \geq 1, x^{2}+(y+1)^{2} \geq 1$ 因此点 $z$ 的轨迹所构成的图形为图中阴影区域，其外边界为一个边长为 4 的正方形此区域面积为 $\displaystyle 8 \times\left(\frac{2 \times 2}{2}-\frac{1 \times 1}{2}-\frac{\pi \times 1^{2}}{4}\right)=12-2 \pi$ 。
📋 详细解题步骤
步骤 1/6
目标：设复数并转化条件
设 z = x + yi (x,y∈R)，则 z/2 = x/2 + (y/2)i，2/z = 2x/(x²+y²) + 2y/(x²+y²)i。由题意，实部和虚部均在[-1,1]内。
公式：z = x + yi
提示：注意分母不为零，即x²+y²≠0。
步骤 2/6
目标：列出不等式组
得到四个不等式：-1 ≤ x/2 ≤ 1，-1 ≤ y/2 ≤ 1，-1 ≤ 2x/(x²+y²) ≤ 1，-1 ≤ 2y/(x²+y²) ≤ 1。
公式：|x/2|≤1, |y/2|≤1, |2x/(x²+y²)|≤1, |2y/(x²+y²)|≤1
提示：绝对值形式更简洁。
步骤 3/6
目标：化简前两个不等式
由|x/2|≤1得|x|≤2，即-2≤x≤2；同理|y|≤2，即-2≤y≤2。所以z在复平面上位于以原点为中心、边长为4的正方形内。
公式：|x|≤2, |y|≤2
提示：这是矩形区域。
步骤 4/6
目标：化简后两个不等式
由|2x/(x²+y²)|≤1得|x| ≤ (x²+y²)/2，即x²+y² ≥ 2|x|。同理x²+y² ≥ 2|y|。所以z在圆外或圆上：x²+y² ≥ 2|x| 且 x²+y² ≥ 2|y|。
公式：x²+y² ≥ 2|x|, x²+y² ≥ 2|y|
提示：注意不等式方向。
步骤 5/6
目标：分析几何意义
x²+y² ≥ 2|x|等价于(x-1)²+y² ≥ 1或(x+1)²+y² ≥ 1，即z在以(1,0)和(-1,0)为圆心、半径为1的圆外。同理x²+y² ≥ 2|y|等价于x²+(y-1)² ≥ 1或x²+(y+1)² ≥ 1，即z在以(0,1)和(0,-1)为圆心、半径为1的圆外。
公式：(x±1)²+y² ≥ 1, x²+(y±1)² ≥ 1
提示：四个圆。
步骤 6/6
目标：确定最终区域并计算面积
z必须同时满足：在正方形[-2,2]×[-2,2]内，且在四个圆的外部。该区域是正方形减去四个四分之一圆（每个圆在正方形内的部分为四分之一圆）。正方形面积16，四个四分之一圆总面积π，故面积为16-π。但注意圆与正方形边界相切，且圆外区域包含边界，所以面积是16-π。
公式：面积 = 16 - π
提示：每个圆在正方形内恰好是一个半径为1的四分之一圆。
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