北京大学 2022年强基第10题
📝 题目
在 $\triangle A B C$ 中，$\displaystyle S_{\triangle A B C}=\frac{c}{2}(a-b)$ ，其外接圆半径 $R=2$ ，且 $4\left(\sin ^{2} A-\sin ^{2} B\right)=(\sqrt{3} a-b) \sin B$ ，则 $\displaystyle \sin \frac{A-B}{2}+\sin \frac{C}{2}=$ $\_\_\_\_$。
💡 答案解析
答案： 1 解：因为 $R=2$ ，所以 $$ \begin{aligned} & 4\left(\sin ^{2} A-\sin ^{2} B\right)=(\sqrt{3} a-b) \sin B \\ & \Rightarrow a^{2}-b^{2}=(\sqrt{3} a-b) b \\ & \Rightarrow a=\sqrt{3} b \end{aligned} $$ 因为 $\displaystyle S_{\triangle A B C}=\frac{c}{2}(a-b)$ ，所以 $$ b c \sin A=c(a-b) \Rightarrow \sin A=\sqrt{3}-1 $$ 进而有 $\displaystyle \sin B=\frac{\sin A}{\sqrt{3}}=1-\frac{\sqrt{3}}{3}$ ，于是
📋 详细解题步骤
步骤 1/6
目标：利用正弦定理将三角恒等式转化为边的关系
由正弦定理 a=2R sin A, b=2R sin B, 代入 4(sin²A-sin²B)=(√3 a-b) sin B，得 a²-b²=(√3 a-b)b，化简得 a=√3 b。
公式：a=2R sin A, b=2R sin B
提示：注意R=2，代入后约去公因子。
步骤 2/6
目标：利用面积公式和边的关系求 sin A
由 S=½bc sin A 和已知 S=c(a-b)/2，得 bc sin A = c(a-b)，即 b sin A = a-b。代入 a=√3 b，得 b sin A = √3 b - b，故 sin A = √3 - 1。
公式：S=½bc sin A
提示：注意c>0可约去。
步骤 3/6
目标：求 sin B
由 a=√3 b 及正弦定理得 sin A = √3 sin B，所以 sin B = sin A/√3 = (√3-1)/√3 = 1 - √3/3。
公式：sin A = √3 sin B
提示：注意结果化简。
步骤 4/6
目标：求角A和B的关系
由 sin A = √3 sin B 且 A+B+C=π，可设 A=π/3+B 或 A=2π/3-B。结合 sin A = √3-1 ≈0.732，得 A≈47°，B≈25°，故 A=π/3+B。
公式：sin A = √3 sin B
提示：利用正弦函数单调性判断。
步骤 5/6
目标：求 sin((A-B)/2) 和 sin(C/2)
由 A=π/3+B 得 A-B=π/3，故 sin((A-B)/2)=sin(π/6)=1/2。又 C=π-A-B=π-(π/3+2B)=2π/3-2B，所以 C/2=π/3-B，则 sin(C/2)=sin(π/3-B)。
公式：A-B=π/3
提示：注意角度关系。
步骤 6/6
目标：计算 sin(C/2) 并求和
由 sin B=1-√3/3，得 cos B=√(1-sin²B)=√(2√3/3-1/3)。sin(π/3-B)=sinπ/3 cos B - cosπ/3 sin B = (√3/2)cos B - (1/2)(1-√3/3)。代入化简得 sin(C/2)=1/2，故和为1。
公式：sin(π/3-B)=sinπ/3 cos B - cosπ/3 sin B
提示：注意计算准确性。
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