北京大学 2022年强基第11题

由AD∥BC得∠ADM=180°-∠BCD，又∠ABM=∠BCD，所以∠ADM=180°-∠ABM，故A, B, M, D四点共圆。

在圆中，由正弦定理，AM/BM = sin∠ABM / sin∠BDM。

由∠ABM=∠BCD，且∠BDM=∠BDC（同弧所对圆周角相等），所以AM/BM = sin∠BCD / sin∠BDC。

在△BCD中，由正弦定理，sin∠BCD / sin∠BDC = DB/BC。

在梯形中，∠BCD为锐角，且∠BDC = ∠ABM = ∠BCD，所以∠BCD = ∠BDC，故DB=BC？不，需分析：由∠BCD=∠BDC得BC=BD？实际上，若∠BCD=∠BDC，则BC=BD，但这里∠BCD=∠ABM，而∠ABM不一定等于∠BDC，注意∠BDM=∠BDC，但∠ABM=∠BCD，所以∠BCD与∠BDC不一定相等。正确推导：由∠ABM=∠BCD，且∠ABM=∠BDM？不，∠ABM和∠BDM是圆周角，但∠ABM不一定等于∠BDM。实际上，由四点共圆，∠ABM=∠ADM，但∠ADM=180°-∠BCD，所以∠ABM=180°-∠BCD，与∠ABM=∠BCD矛盾？检查：原题条件∠ABM=∠CBD=∠BCD，所以∠ABM=∠BCD，而∠ADM=180°-∠BCD，所以∠ABM+∠ADM=180°，故四点共圆。但∠ABM和∠BDM不是同一弧所对圆周角，不能直接相等。正确步骤：AM/BM = sin∠ABM / sin∠BDM，而∠BDM=∠BDC（同弧BM？注意：∠BDM和∠BDC是同一个角？实际上，点D、M、C共线？M在CD上，所以∠BDM就是∠BDC？因为M在CD上，所以∠BDM与∠BDC是同一个角。因此sin∠BDM = sin∠BDC。而∠ABM=∠BCD，所以AM/BM = sin∠BCD / sin∠BDC。在△BCD中，由正弦定理，sin∠BCD / sin∠BDC = BD/BC。所以AM/BM = BD/BC。现在求BD/BC范围。在梯形中，AD∥BC，∠CBD=∠BCD，所以△BCD中，∠CBD=∠BCD，故BD=CD？不，等角对等边，∠CBD=∠BCD，则CD=BD。所以BD=CD。又CD>0，且BC>0，在△BCD中，由三角形两边之和大于第三边，BC < BD+CD = 2BD，所以BD/BC > 1/2。另外，BD/BC可以无限大吗？当BC趋近于0时，但梯形中BC>AD，BC不能太小，但理论上BD/BC可以趋于无穷？考虑极限情况，当∠BCD趋近于0时，BD也趋近于0，但比值？实际上，∠BCD趋近于0，则三角形趋近于退化，BD/BC趋近于？由正弦定理，BD/BC = sin∠BCD / sin∠BDC，当∠BCD→0，∠BDC→π-2∠BCD？不，由∠CBD=∠BCD，三角形内角和π，∠BDC=π-2∠BCD，所以sin∠BDC≈sin(π)=0，但更精确：sin∠BCD/ sin(π-2∠BCD) = sinθ / sin(2θ) = 1/(2cosθ) → 1/2。所以下界为1/2，但取不到。上界：当∠BCD→π/2时，∠BDC=π-2θ→0，sinθ→1，sin(π-2θ)→0，比值→∞。所以范围(1/2, +∞)。

由AM/BM = BD/BC，且BD/BC ∈ (1/2, +∞)，故AM/BM ∈ (1/2, +∞)。