北京大学 2022年强基第13题
📝 题目
若 $A$ 为 + 进制数，$A=\overline{a_{0} a_{1} \ldots a_{n}}$ ，记 $D(A)=a_{0}+2 a_{1}+2^{2} a_{2}+\cdots+2^{n} a_{n}$ 。已知 $b_{0}=2033^{10}, b_{n+1}=D\left(b_{n}\right)$ ，则 $b_{2022}$ 各位数字的平方和 $\_\_\_\_$ 200 （横线上填大于，小于或等于）．
💡 答案解析
答案：小于 解：由题意知若 $A$ 为 $n+1$ 位数，则 $D(A) \leq\left(2^{n+1}-1\right) \times 9\lt 2^{n+1} \times 10, b_{0}=2033^{10}\lt 10^{40}$ ， 所以 $b_{0}$ 至多为 40 位，所以 $b_{1}\lt 2^{40} \times 10\lt 8^{14} \times 10\lt 10^{15}$ ， 所以 $b_{1}$ 至多为 15 位，进而 $b_{2}\lt 2^{15} \times 10\lt 8^{5} \times 10\lt 10^{6}$ ， 所以 $b_{2}$ 至多为 6 位，进而 $b_{3}\lt 2^{6} \times 10\lt 640$ ， 所以 $b_{3}$ 至多为 3 位，进而 $b_{4}\lt 2^{3} \times 10\lt 80$ ， 所以 $b_{4}$ 至多为 2 位，进而 $b_{5}\lt 40$ 也至多两位， 依此类推可得 $b_{2022}$ 至多两位， 其各位数字的平方和不超过 $81+81=162$ ，小于 200 。 【注】原问题为求 $b_{2022}$ 各位数字的平方和，题目中所给出选项分别为＂ 730 ＂，＂ 520 ＂和＂ 370 ＂和 ＂以上答案均不正确＂。
📋 详细解题步骤
步骤 1/6
目标：估计b0的位数
b0=2033^10，由于2033<10^4，故b0<10^40，所以b0至多40位。
公式：2033^10 < (10^4)^10 = 10^40
提示：利用放缩法估计上界
步骤 2/6
目标：估计b1的上界
若A是n+1位数，则D(A)≤(2^{n+1}-1)×9<2^{n+1}×10。b0至多40位，故b1<2^40×10<8^14×10<10^15，所以b1至多15位。
公式：D(A) ≤ (2^{n+1}-1)×9 < 2^{n+1}×10
提示：利用D(A)的定义和位数上界
步骤 3/6
目标：估计b2的上界
b1至多15位，故b2<2^15×10<8^5×10<10^6，所以b2至多6位。
公式：b2 < 2^15 × 10
提示：重复使用上界公式
步骤 4/6
目标：估计b3的上界
b2至多6位，故b3<2^6×10=640，所以b3至多3位。
公式：b3 < 2^6 × 10 = 640
提示：注意位数减少
步骤 5/6
目标：估计b4及后续项的上界
b3至多3位，故b4<2^3×10=80，至多2位；b5<2^2×10=40，至多2位；依此类推，b2022至多2位。
公式：b4 < 80, b5 < 40
提示：后续项位数不再减少
步骤 6/6
目标：计算平方和最大值并比较
b2022至多两位，各位数字最大为9，平方和最大为9^2+9^2=162<200，故填“小于”。
公式：9^2+9^2=162 < 200
提示：平方和最大值小于200
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