北京大学 2022年强基第14题

答案： 4 解：令 $b_{n}=\sqrt{1+2 a_{n}}$ ，则 $b_{1}=5$ 且 $\displaystyle a_{n}=\frac{b_{n}^{2}-1}{2}$ ， 原递推即为 $\displaystyle \frac{b_{n+1}^{2}-1}{2}=\frac{1}{4}\left(3+\frac{b_{n}^{2}-1}{2}+3 b_{n}\right)$ ， 整理后即为 $4 b_{n+1}^{2}=b_{n}^{2}+6 b_{n}+9$ ，由 $b_{n}\gt 0$ 得 $2 b_{n+1}=b_{n}+3$ ， 即 $2\left(b_{n+1}-3\right)=b_{n}-3$ ，所以 $\displaystyle b_{n}-3=\frac{1}{2^{n-1}}\left(b_{1}-3\right)=\frac{1}{2^{n-2}}$ ， 所以 $\displaystyle b_{n}=\frac{1}{2^{n-2}}+3\gt 3, a_{n}=\frac{b_{n}^{2}-1}{2}\gt 4$ ， 另一方面，$\displaystyle b_{10}=\frac{1}{256}+3\lt \frac{1}{\sqrt{10}+3}+3=\sqrt{10}$ ， 所以 $\displaystyle a_{10}=\frac{b_{10}^{2}-1}{2}\lt 4.5$ ， 综上所述， $4\lt a_{10}\lt 4.5$ ，所以与之最接近的整数为 4 。