北京大学 2022年强基第15题

答案： 36 解： 法一： 由 $f(-2)=0$ ，可设 $f(x)=(x+2)(a x+b)=a x^{2}+(2 a+b) x+2 b$ ， 则由 $f(x) \geq 2 x$ 得 $a x^{2}+(2 a+b-2) x+2 b \leq 0$ ， 所以 $a \geq 0$ 且 $(2 a+b-2)^{2} \leq 8 a b$ ，整理后即为 $4 a^{2}+b^{2} \leq 4 a b+8 a+4 b-4$ ， 由 $\displaystyle f(x) \leq \frac{x^{2}+4}{2}$ 得 $(2 a-1) x^{2}+(4 a+2 b) x+4 b-4 \leq 0$ ， 若 $2 a-1=0$ 则必有 $4 a+2 b=0$ ，此时与 $(2 a+b-2)^{2} \leq 8 a b$ 矛盾， 所以 $2 a-1 \leq 0$ 且 $(4 a+2 b)^{2} \leq 4(2 a-1)(4 b-4)$ ， 整理后为 $4 a^{2}+b^{2} \leq 4 a b-8 a-4 b+4$ ， 与 $4 a^{2}+b^{2} \leq 4 a b+8 a+4 b-4$ 相加即得 $4 a^{2}+b^{2} \leq 4 a b$ ， 即 $(2 a-b)^{2} \leq 0$ ，所以 $2 a=b$ ， 所以 $f(x)=(x+2)(a x+2 a)=a(x+2)^{2}$ ， 又由于在原不等式中令 $x=2$ 可得 $4 \leq f(2) \leq 4$ ，所以 $f(2)=4$ ，由此解得 $\displaystyle a=\frac{1}{4}$ ， 所以 $\displaystyle f(x)=\frac{1}{4}(x+2)^{2}, f(10)=36$ 。 法二： $$ 2 x \leqslant f(x) \leqslant \frac{x^{2}+4}{2} \Rightarrow 0 \leqslant f(x)-2 x \leqslant \frac{1}{2}(x-2)^{2} $$