北京大学 2022年强基第16题
📝 题目
已知数列 $\left\{a_{k}\right\}_{1 \leq k \leq 5}$ 各项均为正整数，且 $\left|a_{k+1}-a_{k}\right| \leq 1,\left\{a_{k}\right\}$ 中存在一项为 3 ，可能的数列的个数＿。
💡 答案解析
答案： 211 解：记 $b_{i}=a_{i+1}-a_{i}(1 \leq i \leq 4)$ ，则 $b_{i} \in\{-1,0,1\}$ ， 对确定的 $b_{1}, b_{2}, b_{3}, b_{4}$ ，数列 $\left\{a_{k}\right\}_{1 s k \leq s}$ 各项间的大小顺序即确定， 设 $\min \left\{a_{1}, a_{2}, a_{3}, a_{4}, a_{5}\right\}=a$ ，则 $a \in\{1,2,3\}$ ， 对于给定的 $a, b_{1}, b_{2}, b_{3}, b_{4}$ 可唯一确定一组数列， 由于 $b_{i} \in\{-1,0,1\}$ 且 $a \in\{1,2,3\}$ ，这样的数列共 $3 \times 3^{4}=243$ 个， 其中不符合题设条件的数列各项均为 1 或 2 ，这样的数列有 $2^{5}=32$ 个， 综上所述，符合要求的数列共有 $243-32=211$ 个。
📋 详细解题步骤
步骤 1/5
目标：引入差分变量简化问题
设 b_i = a_{i+1} - a_i (1≤i≤4)，则 b_i ∈ {-1,0,1}。数列由 a_1 和 b_i 唯一确定。
公式：b_i = a_{i+1} - a_i
提示：差分法常用于处理相邻项变化有限的问题。
步骤 2/5
目标：确定数列的最小值范围
由于各项为正整数且存在一项为3，最小值 a = min{a_k} 可能为1,2,3。
公式：a = min{a_1,...,a_5} ∈ {1,2,3}
提示：最小值可能为1或2，但需考虑存在3的条件。
步骤 3/5
目标：计算所有可能的数列总数
a有3种选择，每个b_i有3种选择，共3×3^4=243个数列。
公式：总数 = 3 × 3^4 = 243
提示：注意a和b_i独立选择。
步骤 4/5
目标：排除不含3的数列
不含3的数列各项只能为1或2，共2^5=32个。
公式：不含3的数列数 = 2^5 = 32
提示：此时最小值a只能为1或2，但已包含在总数中。
步骤 5/5
目标：计算最终答案
符合条件的数列个数 = 243 - 32 = 211。
公式：答案 = 243 - 32 = 211
提示：减法原理。
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