北京大学 2022年强基第17题
📝 题目
将不大于 12 的正整数分为 6 个两两交集为空的二元集合，且每个集合中两个元素互质，则不同的分法有 $\_\_\_\_$种。
💡 答案解析
答案： 252 解：易知 $\{2,4,6,8,10,12\}$ 中的元素两两不互质，因此恰好在 6 个不同的集合中。设依次为 $Y_{2}, Y_{4}, \cdots, Y_{12}$ ， 此时剩余的正整数中 $1,7,11$ 可以任意放在上述 6 个集合中， 5 不能放在 $Y_{10}$ 中， 3,9 不能放在 $Y_{6}$ 或 $Y_{12}$ 中，分两种情况： （1）若 5 放入了 $Y_{6}$ 或 $Y_{12}$ 中，有两种情况，此时 3 与 9 可在 4 个集合中选择，有 $A_{4}^{2}$ 种情况，而 1 ， 7， 11 放入集合有 $\mathrm{A}_{3}^{3}$ 种情况； （2）若5没有放入 $Y_{6}$ 或 $Y_{12}$ 中，则 5 有 3 个集合可以选择，进而 3 与 9 可在 3 个集合中选择，有 $A_{3}^{2}$种情况．，而 1， 7,11 放入集合有 $\mathrm{A}_{3}^{3}$ 种情况， 综上所述，不同的集合拆分方法共有 $A_{2}^{1} A_{4}^{2} A_{3}^{3}+A_{3}^{1} A_{3}^{2} A_{3}^{3}=252$ 种。
📋 详细解题步骤
步骤 1/5
目标：识别关键约束
注意到2,4,6,8,10,12两两不互质，因此它们必须分属6个不同集合，每个集合恰好包含一个偶数。
提示：互质即最大公约数为1，偶数之间不互质。
步骤 2/5
目标：分析剩余数字的放置限制
剩余数字1,3,5,7,9,11。其中1,7,11可任意放入6个集合；5不能与10同集；3,9不能与6或12同集。
提示：注意每个集合已有偶数，需考虑与偶数的互质关系。
步骤 3/5
目标：分类讨论：5放入Y6或Y12
若5放入Y6或Y12，有2种选择。此时3和9不能放入Y6或Y12，且不能与5同集，故可在剩余4个集合中选2个排列，有A(4,2)=12种。1,7,11任意放入6个集合，有A(6,3)=120种？注意：实际是放入已有偶数的集合，每个集合已有偶数，故1,7,11可放入任意6个集合，有6^3=216种？但原题用A(3,3)表示排列，可能理解为将1,7,11分配到3个特定集合？需重新审视。
公式：A(4,2)=12
提示：注意3和9不能与5同集，且不能放入Y6或Y12。
步骤 4/5
目标：分类讨论：5不放入Y6或Y12
若5不放入Y6或Y12，则5有3个集合可选（Y2,Y4,Y8）。此时3和9不能放入Y6或Y12，且不能与5同集，故可在剩余3个集合中选2个排列，有A(3,2)=6种。1,7,11任意放入6个集合，有6^3=216种？但原题用A(3,3)表示，可能理解为将1,7,11分配到3个特定集合？需重新审视。
公式：A(3,2)=6
提示：注意5的放置影响3和9的可选集合。
步骤 5/5
目标：计算总数
原题答案：2×12×6 + 3×6×6 = 144+108=252。其中A(3,3)=6表示1,7,11放入3个剩余集合的排列数？但实际有6个集合，可能理解为将1,7,11分配到3个特定集合（如不含5,3,9的集合）？需确认。
公式：2×A(4,2)×A(3,3) + 3×A(3,2)×A(3,3) = 252
提示：注意A(3,3)=6，表示1,7,11在3个集合中的排列。
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