北京大学 2022年强基第18题

答案： 40 解：由题意得 $y+f+d=10$ ， $x^{2}$ 的系数为 $\displaystyle \mathrm{C}_{y}^{2}+\mathrm{C}_{f}^{2}+\mathrm{C}_{d}^{2}=\frac{y^{2}+f^{2}+d^{2}-y-f-d}{2}=\frac{y^{2}+f^{2}+d^{2}-10}{2}$ ， 由柯西不等式知 $\displaystyle y^{2}+f^{2}+d^{2} \geq \frac{(y+f+d)^{2}}{3}=\frac{100}{3}$ ， 又由于 $y, f, d$ 为正整数所以 $y^{2}+f^{2}+d^{2} \geq 34$ ， 当 $y=3, f=3, d=4$ 时，$y^{2}+f^{2}+d^{2}=34$ ，因此 $y^{2}+f^{2}+d^{2}$ 的最小值为 34 ， 另一方面，若 $a, b$ 为正整数，则 $a^{2}+b^{2} \leq 1^{2}+(a+b-1)^{2}$ ， 这是因为上式展开即为 $a b-a-b+1 \geq 0$ ，亦即 $(a-1)(b-1) \geq 0$ 所以 $y^{2}+f^{2}+d^{2} \leq 1^{2}+(y+f-1)^{2}+d^{2} \leq 1^{2}+1^{2}+(y+f+d-2)^{2}=1+1+64=66$ ，当 $y=1, f=1, d=8$ 时，$y^{2}+f^{2}+d^{2}=66$ ，因此 $y^{2}+f^{2}+d^{2}$ 的最大值为 66 ， 进而我们有 $\displaystyle \frac{y^{2}+f^{2}+d^{2}-10}{2}$ 的最大最小值分别为 12,28 ，所以 $x^{2}$ 的系数的最大可能值与最小可能值之和为 40 。