北京大学 2022年强基第19题

答案：$\displaystyle \left(1, \frac{3}{2}\right]$ 解：不妨设三边长为 $1-d, 1,1+d$ ，其中 $\displaystyle 0 \leqslant d\lt \frac{1}{2}$ ，此时； $\cos A+\cos B+\cos C$ $\displaystyle =\frac{(1+d)^{2}+1-(1-d)^{2}}{2(1+d)}+\frac{(1-d)^{2}+1-(1+d)^{2}}{2(1-d)}+\frac{(1+d)^{2}+(1-d)^{2}-1}{2(1+d)(1-d)}$ $\displaystyle =\frac{3\left(1-2 d^{2}\right)}{2\left(1-d^{2}\right)}=\frac{3}{2}\left(2-\frac{1}{1-d^{2}}\right) \in\left(1, \frac{3}{2}\right]$ 。 20，答案： 设 $\mathrm{O} A \quad y=k x$ $$ \begin{aligned} & O B \quad y=-\frac{1}{k} x . \\ & \left\{\begin{array}{c} y=k x \\ \frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}=1 . \end{array}\right. \\ & x^{2}=\frac{a^{2} b^{2}}{a^{2} k^{2}+b^{2}} . \\ & y^{2}=\frac{a^{2} b^{2} k^{2}}{a^{2} k^{2}+b^{2}} \\ & A\left(\frac{a b}{\sqrt{a^{2} k^{2}+b^{2}}}, \frac{a b k}{\sqrt{a^{2} k^{2}+b^{2}}}\right) \end{aligned} $$