北京大学 2022年强基第20题
📝 题目
求内接于椭圆 $\displaystyle \frac{x^{2}}{4}+\frac{y^{2}}{9}=1$ 的菱形周长的最大值和最小值之和。 其一般情形即：求内接于椭圆 $\displaystyle \frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}=1$ 的菱形周长的最大值和最小值之和。 
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/8
目标：设椭圆内接菱形顶点坐标
设菱形顶点在椭圆上，由对称性，顶点可设为A(2cosθ, 3sinθ), B(-2cosθ, 3sinθ), C(-2cosθ, -3sinθ), D(2cosθ, -3sinθ)，其中θ∈(0,π/2)。
公式：椭圆参数方程：x=2cosθ, y=3sinθ
提示：利用椭圆参数方程表示顶点，注意菱形对角线互相垂直平分。
步骤 2/8
目标：计算菱形边长
边长s = √[(2cosθ+2cosθ)² + (3sinθ-3sinθ)²]? 错误。正确：相邻顶点A和B距离：s = √[(2cosθ+(-2cosθ))² + (3sinθ-3sinθ)²] = 4|cosθ|。但A和B不是相邻？实际上菱形顶点顺序为A, B, C, D，相邻顶点如A和B：x坐标差4cosθ，y坐标差0，故边长=4|cosθ|。但θ∈(0,π/2)，cosθ>0，所以s=4cosθ。
公式：两点距离公式
提示：注意顶点顺序，相邻顶点坐标差。
步骤 3/8
目标：发现边长与θ无关？重新审视
上述顶点设置导致菱形边平行于坐标轴，但内接菱形不一定边平行于轴。一般内接菱形顶点为椭圆上四点，且对角线在坐标轴上？实际上，椭圆内接菱形顶点关于原点对称，且对角线互相垂直。设顶点为(2cosα,3sinα), (-2cosα,-3sinα), (2cosβ,3sinβ), (-2cosβ,-3sinβ)，且对角线垂直。
公式：垂直条件：斜率乘积为-1
提示：菱形对角线互相垂直且平分。
步骤 4/8
目标：利用垂直条件建立关系
对角线向量：从(-2cosα,-3sinα)到(2cosα,3sinα)为(4cosα,6sinα)；另一对角线从(-2cosβ,-3sinβ)到(2cosβ,3sinβ)为(4cosβ,6sinβ)。垂直条件：(4cosα)(4cosβ)+(6sinα)(6sinβ)=0 => 16cosαcosβ+36sinαsinβ=0 => 4cosαcosβ+9sinαsinβ=0。
公式：向量点积为零
提示：化简垂直条件。
步骤 5/8
目标：计算菱形边长表达式
相邻顶点如(2cosα,3sinα)和(2cosβ,3sinβ)距离平方：s² = (2cosα-2cosβ)²+(3sinα-3sinβ)² = 4(cosα-cosβ)²+9(sinα-sinβ)²。利用垂直条件消去一个变量。
公式：距离平方公式
提示：利用三角恒等式化简。
步骤 6/8
目标：利用垂直条件化简边长
由垂直条件：4cosαcosβ+9sinαsinβ=0。设u=cosα, v=cosβ，则sinα=√(1-u²), sinβ=√(1-v²)（取正，因θ∈(0,π/2)）。但更简便：令tanα, tanβ。由垂直条件得：4+9tanαtanβ=0 => tanαtanβ = -4/9。
公式：tanαtanβ = -4/9
提示：将垂直条件转化为正切关系。
步骤 7/8
目标：用正切表示边长
边长平方s² = 4(cosα-cosβ)²+9(sinα-sinβ)²。利用cos=1/√(1+tan²), sin=tan/√(1+tan²)。设t=tanα, 则tanβ=-4/(9t)。代入化简得s² = (4+9t²)(4+81t²)/(9t²)？需仔细计算。
公式：三角恒等式
提示：计算时注意符号，t>0。
步骤 8/8
目标：求周长最值
周长L=4s，s>0。由s²表达式，令f(t)=s²，求f(t)在t>0上的最值。利用均值不等式或导数。最终得最大值和最小值之和为定值。对于一般椭圆，类似可得和为4√(a²+b²)+4√(a²+b²)? 实际上，对于本题a=2,b=3，计算得最大值和最小值之和为4√13+4√13? 需具体计算。
公式：均值不等式或导数
提示：注意t>0，对称性。
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