北京大学 2022年强基第2题
📝 题目
已知 $\triangle A B C$ 中，满足 $\angle B=2 \angle C,(A B+A C)$ ：$B C=14: 9$ ，求 $\cos C$ 。
💡 答案解析
【解析】 $$ \begin{aligned} & \sin \quad B=\sin \quad 2 c=2 \sin \quad C \cos \quad C \\ & b=2 c \cdot \frac{a^{2}+b^{2}-c^{2}}{2 a b} \\ & a b^{2}=c a^{2}+c b^{2}-c^{3} \\ & b^{2}(a-c)=c(a+c)(a-c) \end{aligned} $$ （i）$a=c \cdot A=c$ ．又 $B=2 C$ ． 则 $\displaystyle A=C=45^{\circ}, B=90^{\circ}, 5 \frac{b+c}{\alpha}=\frac{14}{9}$ （ii）$\left\{\begin{array}{l}b^{2}=c(a+c) \\ 9(b+c)=14 a\end{array}\right.$ 令 $\mathrm{c}=1,\left\{\begin{array}{c}a=b^{2}-1 \\ 14 a=9 b+9\end{array}\right.$ 解得 $\displaystyle b=\frac{23}{14}, a=\frac{333}{169}$ ． $\displaystyle \cos C=\frac{a^{2}+b^{2}-c^{2}}{2 a b}=\frac{23}{28}$. 最后一步由 $a=b^{2}-1$ 代入化简后运算计算量更低。
📋 详细解题步骤
步骤 1/7
目标：利用正弦定理和倍角公式转化条件
由∠B=2∠C，得sinB=sin2C=2sinCcosC。结合正弦定理，边角关系转化为b=2c·cosC。
公式：sinB=sin2C=2sinCcosC
提示：注意倍角公式的应用
步骤 2/7
目标：利用余弦定理表示cosC并代入
由余弦定理，cosC=(a²+b²-c²)/(2ab)。代入b=2c·cosC，化简得ab²=c(a²+b²-c²)，进一步整理得b²(a-c)=c(a+c)(a-c)。
公式：cosC=(a²+b²-c²)/(2ab)
提示：注意代数化简的准确性
步骤 3/7
目标：分类讨论a=c的情况
若a=c，则三角形为等腰三角形，∠A=∠C。结合∠B=2∠C及内角和180°，解得∠C=45°，∠B=90°，∠A=45°。此时(AB+AC):BC=(c+b):a，代入得(1+√2):1，与14:9不符，舍去。
公式：∠A+∠B+∠C=180°
提示：注意验证比例条件
步骤 4/7
目标：处理a≠c的情况，得到b²=c(a+c)
若a≠c，则约去(a-c)，得b²=c(a+c)。这是关键关系式。
公式：b²=c(a+c)
提示：约分时注意非零条件
步骤 5/7
目标：利用比例条件建立方程
由(AB+AC):BC=14:9，即(c+b):a=14:9，得9(b+c)=14a。结合b²=c(a+c)，令c=1简化计算，得方程组：a=b²-1，14a=9b+9。
公式：9(b+c)=14a
提示：设c=1是常用技巧
步骤 6/7
目标：解方程组求a,b
代入消元得14(b²-1)=9b+9，即14b²-9b-23=0。解得b=23/14（负值舍去），则a=(23/14)²-1=333/196。
公式：14b²-9b-23=0
提示：注意解方程时舍去负根
步骤 7/7
目标：计算cosC
由余弦定理，cosC=(a²+b²-c²)/(2ab)。代入a=333/196，b=23/14，c=1，计算得cosC=23/28。
公式：cosC=(a²+b²-c²)/(2ab)
提示：计算时注意分数运算
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