北京大学 2022年强基第3题
📝 题目
对正整数 $\mathrm{n}, 874 \mathrm{n}$ 除以 100 的余数为 92 ，称有性质 P ，令 874 n 为 x ，对五位数 x ，问满足性质 P的 n 的平方和为
💡 答案解析
答案： 20 解：由于 $100 \mid 2^{y}+y$ ，所以 $4 \mid 2^{y}+y$ ， 显然 $y \neq 1$ ，所以 $y \geq 2$ ，所以 $4 \mid 2^{y}$ ，进而得到 $4 \mid y$ ， 设 $y=4 f(1 \leq f \leq 504)$ ， 则 $5 \mid 2^{4 f}+4 f$ ，由于 $2^{4} \equiv 1(\bmod 5)$ ，所以 $4 f+1 \equiv 0(\bmod 5)$ ，即 $f \equiv 1(\bmod 5)$ 设 $f=5 d+1$ ，则 $y=4 f=20 d+4(0 \leq d \leq 100)$ ， 则 $2^{20 d+4}+20 d+4 \equiv 0(\bmod 25)$ ， 由欧拉定理，$\varphi(25)=20$ ，所以 $2^{20} \equiv 1(\bmod 25)$ ， 进而得到 $0 \equiv 2^{20 d+4}+20 d+4 \equiv 20 d+20(\bmod 25)$ ， 所以 $25|20 d+20,5| d+1$ ，所以 $d=5 k+4(0 \leq k \leq 19)$ ， 因此这样的 $y$ 有 20 个。
📋 详细解题步骤
步骤 1/6
目标：将问题转化为同余方程
由题意，874n ≡ 92 (mod 100)，即874n mod 100 = 92。由于874 ≡ 74 (mod 100)，所以74n ≡ 92 (mod 100)。
公式：874n ≡ 92 (mod 100)
提示：注意模100的简化
步骤 2/6
目标：化简同余方程
74n ≡ 92 (mod 100) 两边除以2得 37n ≡ 46 (mod 50)。再求逆元：37 mod 50的逆元为？37×?≡1 mod 50，37×27=999≡-1 mod 50，所以逆元为-27≡23 mod 50。故n ≡ 46×23 mod 50。
公式：37n ≡ 46 (mod 50)
提示：求逆元可用扩展欧几里得
步骤 3/6
目标：计算n的模50解
46×23=1058，1058 mod 50 = 8，所以n ≡ 8 (mod 50)。即n=50k+8，k为非负整数。
公式：n ≡ 8 (mod 50)
提示：注意n为正整数
步骤 4/6
目标：确定n的范围
x=874n是五位数，即10000≤874n≤99999，解得n≥12（因为874×11=9614，不足五位数），n≤114（874×114=99636，874×115=100510超五位数）。所以n∈[12,114]。
公式：10000 ≤ 874n ≤ 99999
提示：注意边界
步骤 5/6
目标：找出满足条件的n
n=50k+8，且12≤n≤114。k=0时n=8（小于12舍去），k=1时n=58，k=2时n=108，k=3时n=158（超范围）。所以n=58和108。
公式：n=50k+8
提示：检查每个k
步骤 6/6
目标：计算平方和
n的平方和为58²+108²=3364+11664=15028。
公式：58²+108²
提示：直接计算
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