北京大学 2022年强基第4题

答案： 321 解：记 $\displaystyle a_{n}=\left(\frac{1+\sqrt{5}}{2}\right)^{n}+\left(\frac{1-\sqrt{5}}{2}\right)^{n}$ ， 则由其所对应的特征根方程知数列 $a_{n}$ 满足 $a_{n+2}=a_{n+1}+a_{n}$ 且 $a_{0}=2, a_{1}=1$ ， 依次可得 $a_{2}=3, a_{3}=4, a_{4}=7, a_{5}=11, a_{6}=18, a_{7}=29, a_{8}=47, a_{9}=76, a_{10}=123, a_{11}=199, a_{12}=322$ 而 $\displaystyle \left|\frac{1-\sqrt{5}}{2}\right| \in(0,1)$ ，所以 $\displaystyle \left(\frac{1-\sqrt{5}}{2}\right)^{12} \in(0,1)$ ， 所以 $\displaystyle a_{12}\gt \left(\frac{1+\sqrt{5}}{2}\right)^{12}\gt a_{12}-1$ ，所以 $\left[\alpha^{12}\right]=321$ 。