北京大学 2022年强基第5题
📝 题目
$\cos \mathrm{A}=\mathrm{A}, \cos (\sin \mathrm{B})=\mathrm{B}, \sin (\cos \mathrm{C})=\mathrm{C}$ ，问 $\mathrm{A}, \mathrm{B}, \mathrm{C}$ 的大小排序。
💡 答案解析
答案： 2065020 解：假设 $\overline{y_{1} y_{2} f_{3}}=m, \overline{f_{4} d_{5} d_{6}}=n$ ，则 $100 \leq m \leq 999,1 \leq n \leq 999$ 由此可得原命题等价于 $\displaystyle 1000 \frac{m}{n}+1=(1+m)^{2}$ ，即 $\displaystyle \frac{1000}{n}=2+m$ 由于 $102 \leq 2+m \leq 1002$ ，所以 $1 \leq n \leq 9$ 且 $n \mid 1000$ ， 所以 $n=1,2,4,5,8$ ，因此对应的 $(m, n)$ 有 5 种不同的取值，对应的六位数为 $\displaystyle 1000 m+n=1000 \times\left(\frac{1000}{n}-2\right)+n$ ，即998001，498002，248004，198005，123008 这样的六位数之和为 2065020。
📋 详细解题步骤
步骤 1/6
目标：分析方程cos A = A的解
构造函数f(x)=cos x - x，求导得f'(x)=-sin x -1 < 0，f(x)单调递减。f(0)=1>0，f(1)=cos1-1<0，故存在唯一解A∈(0,1)。
公式：f(x)=cos x - x
提示：利用单调性确定解的范围
步骤 2/6
目标：分析方程cos(sin B)=B的解
令t=sin B，则B=cos t，且t=sin(cos t)。由于|sin B|≤1，B∈[-1,1]。考虑函数g(t)=sin(cos t)-t，求导得g'(t)=-cos(cos t)sin t -1。
公式：g(t)=sin(cos t)-t
提示：换元简化方程
步骤 3/6
目标：确定B的范围
由于cos t∈[-1,1]，sin(cos t)∈[-sin1, sin1]≈[-0.84,0.84]。又B=cos t，且t=sin B，故B∈[0,1]（因为cos t非负时t∈[-π/2,π/2]）。
提示：利用三角函数值域
步骤 4/6
目标：比较A和B的大小
在(0,1)上，cos x > x？实际上，A≈0.739，而B满足cos(sin B)=B，由于sin Bcos B，故B>cos B，而A=cos A，所以B>A。
提示：利用单调性比较
步骤 5/6
目标：分析方程sin(cos C)=C的解
令u=cos C，则C=sin u，且u=cos(sin u)。由于|cos C|≤1，C∈[-1,1]。类似地，C∈[0,1]（因为sin u非负时u∈[0,π]）。
提示：对称性分析
步骤 6/6
目标：比较C与A、B的大小
在(0,1)上，sin x < x，故sin(cos C) < cos C，即C < cos C。而A=cos A，所以C < A。综上，C < A < B。
提示：利用不等式sin x < x (x>0)
📷 拍照上传批改
拍照上传批改功能已预留入口，后续接入图片上传、OCR识别与AI批改。