北京大学 2022年强基第6题

答案： 10 解：由于 $a, b, c, d$ 均为整数， 所以 $\displaystyle a b+a c+a d+b c+b d+c d=\frac{(a+b+c+d)^{2}-\left(a^{2}+b^{2}+c^{2}+d^{2}\right)}{2}$ 为整数， 因此只需 $(a+b+c+d)^{2}-\left(a^{2}+b^{2}+c^{2}+d^{2}\right)\gt 0$ ，即 $a^{2}+b^{2}+c^{2}+d^{2}\lt 36$ 原命题即为求 $a^{2}+b^{2}+c^{2}+d^{2}$ 小于 36 的不同取值的个数， 由柯西不等式知 $\left(a^{2}+b^{2}+c^{2}+d^{2}\right)(1+1+1+1) \geq(a+b+c+d)^{2}=36$ ， 因此 $a^{2}+b^{2}+c^{2}+d^{2} \geq 9$ ， 又因为 $a^{2}+b^{2}+c^{2}+d^{2}$ 与 $a+b+c+d$ 奇偶性相同， 所以 $a^{2}+b^{2}+c^{2}+d^{2}$ 的取值必为 10 到 34 之间的偶数， 下证 $a^{2}+b^{2}+c^{2}+d^{2}$ 不为 8 的倍数： 采用反证法，若否，则 $a^{2}+b^{2}+c^{2}+d^{2} \equiv 0(\bmod 4)$ ， 此时 $a, b, c, d$ 要么同为偶数要么同为奇数， （i）$a, b, c, d$ 同为偶数：设 $a=2 a^{\prime}, b=2 b^{\prime}, c=2 c^{\prime}, d=2 d^{\prime}$ 此时 $a^{\prime}+b^{\prime}+c^{\prime}+d^{\prime}=3, a^{2}+b^{2}+c^{2}+d^{2}=4\left(a^{\prime 2}+b^{\prime 2}+c^{\prime 2}+d^{\prime 2}\right)$ 因为 $a^{\prime 2}+b^{\prime 2}+c^{\prime 2}+d^{\prime 2}$ 与 $a^{\prime}+b^{\prime}+c^{\prime}+d^{\prime}$ 奇偶性相同． 所以 $a^{2}+b^{2}+c^{2}+d^{2}$ 不可能为 8 的倍数。 （ii）$a, b, c, d$ 同为奇数： 由于奇数的平方模 8 同余于 1 ，所以 $a^{2}+b^{2}+c^{2}+d^{2} \equiv 4(\bmod 8)$ ， 所以 $a^{2}+b^{2}+c^{2}+d^{2}$ 不可能为 8 的倍数， 因此 $a^{2}+b^{2}+c^{2}+d^{2}$ 的取值必为 10 到 34 之间的偶数且不为 8 的倍数