北京大学 2022年强基第7题
📝 题目
已知三个复数 $\mathrm{a}, \mathrm{b}, \mathrm{c}$ 满足 $\displaystyle a+b+c=2022 i, \frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}=\frac{-i}{2022}$ ，问 $a^{3}+b^{3}+c^{3}=()$ 。
💡 答案解析
答案：$\displaystyle \left(\frac{\sqrt{15}}{5}, \frac{2 \sqrt{6}}{5}\right]$ 解：先证明一个引理：平面上四边形 $A B C D$ 的四边长分别记为 $a, b, c, d$ ，那么四边形 $A B C D$ 的面积 $$ S_{A B C D}=\sqrt{(p-a)(p-b)(p-c)(p-d)-a b c d \cos ^{2} \frac{A+C}{2}}, $$ 其中 $p$ 为四边形 $A B C D$ 的半周长 $\displaystyle \frac{1}{2}(a+b+c+d)$ ， 引理的证明：在 $\triangle A B D$ 和 $\triangle C B D$ 中分别应用余弦定理，有 又 $$ \begin{array}{r} \left\{\begin{array}{l} B D^{2}=a^{2}+d^{2}-2 a d \cos A, \\ B D^{2}=b^{2}+c^{2}-2 b c \cos C, \end{array}\right. \\
📋 详细解题步骤
步骤 1/5
目标：利用已知条件构造对称多项式
设 a, b, c 为三次方程 x^3 - p x^2 + q x - r = 0 的根，其中 p = a+b+c = 2022i，q = ab+bc+ca，r = abc。由 1/a+1/b+1/c = (ab+bc+ca)/(abc) = q/r = -i/2022，得 q = -i r / 2022。
公式：p = a+b+c, q = ab+bc+ca, r = abc
提示：利用韦达定理建立关系
步骤 2/5
目标：计算 a^3+b^3+c^3 的表达式
由恒等式 a^3+b^3+c^3 = p^3 - 3pq + 3r，代入 p=2022i，q = -i r / 2022，得 a^3+b^3+c^3 = (2022i)^3 - 3(2022i)(-i r/2022) + 3r = -2022^3 i + 3r + 3r = -2022^3 i + 6r。
公式：a^3+b^3+c^3 = p^3 - 3pq + 3r
提示：注意 i^3 = -i
步骤 3/5
目标：确定 r 的值
由于 a, b, c 是复数，且条件未给出具体值，r 可以是任意复数？但题目要求唯一答案，说明 r 被隐含条件确定。实际上，由对称性，a, b, c 是方程 x^3 - p x^2 + q x - r = 0 的根，且 p, q, r 满足关系，但 r 自由？检查：若 a, b, c 为任意满足条件的复数，则 a^3+b^3+c^3 应为定值。令 r 为参数，但结果应不含 r，故需进一步条件。
提示：思考是否遗漏条件
步骤 4/5
目标：利用恒等式消去 r
由 a+b+c=2022i 和 1/a+1/b+1/c = -i/2022，可得 (a+b+c)(1/a+1/b+1/c) = 3 + (a/b+b/a) + ... = 2022i * (-i/2022) = 1。所以 3 + Σ(a/b + b/a) = 1，即 Σ(a/b + b/a) = -2。但 Σ(a/b + b/a) = (a^2+b^2+c^2)/(abc) * (ab+bc+ca)? 更直接：由 (a+b+c)(ab+bc+ca) = a^2b+... 可导出 a^3+b^3+c^3 表达式。
公式：(a+b+c)(1/a+1/b+1/c) = 3 + Σ(a/b + b/a)
提示：展开乘积
步骤 5/5
目标：直接计算 a^3+b^3+c^3
由 (a+b+c)^3 = a^3+b^3+c^3 + 3(a+b+c)(ab+bc+ca) - 3abc，代入已知：左边 = (2022i)^3 = -2022^3 i，右边 = a^3+b^3+c^3 + 3(2022i)q - 3r。又 q = -i r/2022，代入得 -2022^3 i = a^3+b^3+c^3 + 3(2022i)(-i r/2022) - 3r = a^3+b^3+c^3 + 3r - 3r = a^3+b^3+c^3。所以 a^3+b^3+c^3 = -2022^3 i。
公式：(a+b+c)^3 = a^3+b^3+c^3 + 3(a+b+c)(ab+bc+ca) - 3abc
提示：注意 q 与 r 的关系消去
📷 拍照上传批改
拍照上传批改功能已预留入口，后续接入图片上传、OCR识别与AI批改。