北京大学 2022年强基第8题
📝 题目
问一个六元素集合到一个三元素集合的满射共多少个？
💡 答案解析
【解析】设三元集为 $\{\mathrm{a}, \mathrm{b}, \mathrm{c}\}, \mathrm{A}$ 为六元集到 $\{\mathrm{b}, \mathrm{c}\}$ 映射的集合，同样构造 BC $$ \begin{aligned} & |A|=2^{6}=|B|=|C| \\ & |A \cap B|=|A \cap C|=|B \cap C|=1 . \\ & |A \cap B \cap C|=0 . \text { 由容斥原理 } \\ & |A \cup B \cup C|=|A|+|B|+|C|-|A \cap B|-|A \cap C|-|B \cap C|+|A \cap B \cap C| . \\ & =3 \cdot 2^{6}-3=189 . \\ & \text { 所求即为 }|\bar{A} \cap \bar{B} \cap \bar{C}|=3^{6}-|A \cup B \cup C|=540 . \end{aligned} $$
📋 详细解题步骤
步骤 1/6
目标：理解问题并设定符号
设目标三元素集合为 {a, b, c}，原六元素集合为 X。考虑所有从 X 到 {a, b, c} 的映射，总数为 3^6。
公式：总映射数 = 3^6
提示：注意满射要求每个像都有原像。
步骤 2/6
目标：定义非满射的集合
定义 A 为所有不包含 a 的映射集合，即映射到 {b, c}；类似定义 B（不含 b）和 C（不含 c）。则 |A| = |B| = |C| = 2^6。
公式：|A| = 2^6
提示：每个集合对应缺少一个像。
步骤 3/6
目标：计算两两交集大小
A∩B 表示映射中不含 a 和 b，即只映射到 {c}，只有常数映射，故 |A∩B| = 1。同理 |A∩C| = |B∩C| = 1。
公式：|A∩B| = 1
提示：注意常数映射唯一。
步骤 4/6
目标：计算三个交集大小
A∩B∩C 表示映射不含 a、b、c，即无像可映射，故为空集，|A∩B∩C| = 0。
公式：|A∩B∩C| = 0
提示：不可能没有像。
步骤 5/6
目标：应用容斥原理求并集大小
由容斥原理，|A∪B∪C| = |A|+|B|+|C| - (|A∩B|+|A∩C|+|B∩C|) + |A∩B∩C| = 3·2^6 - 3 + 0 = 189。
公式：|A∪B∪C| = 3·2^6 - 3 = 189
提示：容斥原理公式要记牢。
步骤 6/6
目标：求满射个数
满射即不在 A、B、C 中任何一个，故满射个数 = 总映射数 - |A∪B∪C| = 3^6 - 189 = 729 - 189 = 540。
公式：满射数 = 3^6 - 189 = 540
提示：注意总映射数为 3^6。
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