北京大学 2022年强基第9题

答案： $12-2 \pi$ \begin{figure} \includegraphics[alt={},max width=\textwidth]{https://cdn.mathpix.com/cropped/833959c6-5591-4173-a2c3-d084825e3daf-118.jpg?height=550&width=555&top_left_y=270&top_left_x=1218} \captionsetup{labelformat=empty} \caption{图2：第9题图} \end{figure} 设满足要求的复数 $z=x+y i(x, y \in \mathbb{R})$ 则原命题即为 $\displaystyle \frac{2 x}{x^{2}+y^{2}}+\frac{2 y}{x^{2}+y^{2}} i$ 与 $\displaystyle \frac{x}{2}+\frac{y}{2} i$ 的实部和虚部均属于 $[-1,1]$ ， 因此 $\displaystyle -1 \leq \frac{2 x}{x^{2}+y^{2}} \leq 1,-1 \leq \frac{2 y}{x^{2}+y^{2}} \leq 1,-1 \leq \frac{x}{2} \leq 1,-1 \leq \frac{y}{2} \leq 1$ ， 整理后得 $-2 \leq x \leq 2,-2 \leq y \leq 2$ $(x-1)^{2}+y^{2} \geq 1,(x+1)^{2}+y^{2} \geq 1, x^{2}+(y-1)^{2} \geq 1, x^{2}+(y+1)^{2} \geq 1$ 因此点 $z$ 的轨迹所构成的图形为图中阴影区域，其外边界为一个边长为 4 的正方形此区域面积为 $\displaystyle 8 \times\left(\frac{2 \times 2}{2}-\frac{1 \times 1}{2}-\frac{\pi \times 1^{2}}{4}\right)=12-2 \pi$ 。