北京大学 2022年强基第11题
📝 题目
已知 $\displaystyle w=\cos \frac{\pi}{7}+i \sin \frac{\pi}{7}$ ，请写出以 $w, w^{3}, w^{5}, w^{9}, w^{11}, w^{13}$ 为根的一元六次方程。
💡 答案解析
答案：$\displaystyle \left(\frac{1}{2},+\infty\right)$ 解：$\angle A D M=180^{\circ}-\angle B C D=180^{\circ}-\angle A B M$ ，所以 $A, B, M, D$ 四点共圆，于是 $$ \frac{A M}{B M}=\frac{\sin \angle A B M}{\sin \angle B D M}=\frac{\sin \angle D C B}{\sin \angle B D C}=\frac{D B}{B C} $$ 易知 $\displaystyle \frac{D B}{B C} \in\left(\frac{1}{2},+\infty\right)$ 。
📋 详细解题步骤
步骤 1/6
目标：确定w的性质
w = cos(π/7) + i sin(π/7) = e^(iπ/7)，是7次单位根，满足w^7 = -1，因为e^(iπ) = -1。
公式：w^7 = -1
提示：注意w是7次本原单位根，但w^7 = -1而非1。
步骤 2/6
目标：列出所有根并观察规律
根为w, w^3, w^5, w^9, w^11, w^13。注意到指数为奇数：1,3,5,9,11,13。这些是模14下的奇数？实际上w^7 = -1，所以w^k与w^(k+7)相差负号。
公式：w^(k+7) = -w^k
提示：考虑指数模14的奇偶性。
步骤 3/6
目标：简化根的表达
由于w^7 = -1，则w^9 = w^2 * w^7 = -w^2，w^11 = -w^4，w^13 = -w^6。因此根为w, w^3, w^5, -w^2, -w^4, -w^6。
公式：w^9 = -w^2, w^11 = -w^4, w^13 = -w^6
提示：利用w^7 = -1化简高次幂。
步骤 4/6
目标：构造多项式
所有根是w的奇次幂（1,3,5）和负的偶次幂（-2,-4,-6）。注意w是7次单位根，但w^7 = -1，所以w是14次单位根？实际上w^14 = 1。因此这些根是方程x^7 + 1 = 0的根？x^7+1=0的根为w, w^3, w^5, w^7, w^9, w^11, w^13，但w^7 = -1不是根？检查：x^7+1=0的根是e^(iπ(2k+1)/7)，k=0,...,6，即w, w^3, w^5, w^7, w^9, w^11, w^13。但w^7 = -1，所以-1是根。而题目中根不包括-1，所以是去掉-1后的六个根。因此多项式为(x^7+1)/(x+1) = x^6 - x^5 + x^4 - x^3 + x^2 - x + 1。
公式：x^7+1 = (x+1)(x^6 - x^5 + x^4 - x^3 + x^2 - x + 1)
提示：注意w^7 = -1，所以w是x^7+1=0的根，但-1也是根，题目根集是x^7+1=0除去-1。
步骤 5/6
目标：验证根集
x^7+1=0的根为e^(iπ(2k+1)/7)，k=0,...,6。当k=0得w，k=1得w^3，k=2得w^5，k=3得w^7=-1，k=4得w^9，k=5得w^11，k=6得w^13。所以除去k=3的根-1，其余六个正是题目所给。
公式：根为e^(iπ(2k+1)/7), k=0,...,6
提示：确认根与题目一致。
步骤 6/6
目标：写出最终方程
因此以这些数为根的一元六次方程为x^6 - x^5 + x^4 - x^3 + x^2 - x + 1 = 0。
公式：x^6 - x^5 + x^4 - x^3 + x^2 - x + 1 = 0
提示：这是分圆多项式Φ14(x)的一部分？实际上Φ14(x)=x^6 - x^5 + x^4 - x^3 + x^2 - x + 1。
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