北京大学 2022年强基第12题

答案： 12 解：令 $x=\cos \theta(\theta \in[0, \pi])$ ， 则 $\sin \theta=\cos 3 \theta$ ，即 $\displaystyle \cos \left(\frac{\pi}{2}-\theta\right)=\cos 3 \theta$ ，由于 $\displaystyle \frac{\pi}{2}-\theta \in\left[-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}\right], \cos 3 \theta \in[0,3 \pi]$ ， 所以 $\displaystyle 3 \theta=\frac{\pi}{2}-\theta$ 或 $\displaystyle 3 \theta=\frac{\pi}{2}-\theta+2 \pi$ 或 $\displaystyle 3 \theta=\theta-\frac{\pi}{2}+2 \pi$ 解得 $\displaystyle \theta=\frac{\pi}{8}$ 或 $\displaystyle \frac{5 \pi}{8}$ 或 $\displaystyle \frac{3 \pi}{4}$ ， 因而其全部解为 $\displaystyle x=\cos \frac{\pi}{8}$ 或 $\displaystyle \cos \frac{5 \pi}{8}$ 或 $\displaystyle \cos \frac{3 \pi}{4}$ ， 由题意知，所求值为： $\displaystyle \frac{3}{\cos \frac{\pi}{8} \cos \frac{5 \pi}{8} \cos \frac{3 \pi}{4}}=\frac{3}{-\cos \frac{\pi}{8} \sin \frac{\pi}{8} \cos \frac{3 \pi}{4}}=\frac{6}{\sin \frac{\pi}{4} \cos \frac{\pi}{4}}=\frac{12}{\sin \frac{\pi}{2}}=12$