北京大学 2022年强基第13题

答案：小于 解：由题意知若 $A$ 为 $n+1$ 位数，则 $D(A) \leq\left(2^{n+1}-1\right) \times 9\lt 2^{n+1} \times 10, b_{0}=2033^{10}\lt 10^{40}$ ， 所以 $b_{0}$ 至多为 40 位，所以 $b_{1}\lt 2^{40} \times 10\lt 8^{14} \times 10\lt 10^{15}$ ， 所以 $b_{1}$ 至多为 15 位，进而 $b_{2}\lt 2^{15} \times 10\lt 8^{5} \times 10\lt 10^{6}$ ， 所以 $b_{2}$ 至多为 6 位，进而 $b_{3}\lt 2^{6} \times 10\lt 640$ ， 所以 $b_{3}$ 至多为 3 位，进而 $b_{4}\lt 2^{3} \times 10\lt 80$ ， 所以 $b_{4}$ 至多为 2 位，进而 $b_{5}\lt 40$ 也至多两位， 依此类推可得 $b_{2022}$ 至多两位， 其各位数字的平方和不超过 $81+81=162$ ，小于 200 。 【注】原问题为求 $b_{2022}$ 各位数字的平方和，题目中所给出选项分别为＂ 730 ＂，＂ 520 ＂和＂ 370 ＂和 ＂以上答案均不正确＂。