北京大学 2022年强基第14题

【解析】 $\displaystyle S=\frac{a^{2}}{3}+b^{2}+c^{2}-a b-a c-b c$ $\displaystyle =\frac{a^{2}}{3}+b^{2}+c^{2}-(b+c) a-\frac{1}{a}$ $\displaystyle =\frac{a^{2}}{3}+(b+c)^{2}-\frac{3}{a}-(b+c) a$ ． $\displaystyle =\frac{a^{2}}{3}+\left(b+c-\frac{a}{2}\right)^{2}-\frac{3}{a}-\frac{a^{2}}{4}$ $\displaystyle =\frac{a^{2}}{12}-\frac{3}{a}+\left(\frac{a}{2}-(b+c)\right)^{2}$ $\displaystyle b+c \geq 2 \sqrt{b c}=2 \sqrt{\frac{1}{a}}$ 令 $\displaystyle \frac{a}{2}=2 \sqrt{\frac{1}{a}} a=2 \sqrt[3]{2}$ ． 当 $a \geqslant 2 \sqrt[3]{2}$ 时．$\displaystyle b+c=\frac{a}{2}$ 时 $S$ 取最小． $\displaystyle S \geqslant \frac{a^{2}}{12}-\frac{3}{a} \geqslant \frac{13}{24 \sqrt[3]{2}}$ 当 $a=2 \sqrt[3]{2}$ 时取到． 当 $a\lt 2 \sqrt[3]{2}$ ，时。 $\displaystyle b+c\gt \frac{a}{2}$ $\displaystyle b+c \geqslant 2 \sqrt{\frac{1}{a}}, b=c=\sqrt{\frac{1}{a}}$ 时 S 取最小 $\displaystyle S \geq \frac{a^{2}}{12}-\frac{3}{a}+\left(2 \sqrt{\frac{1}{a}}-\frac{a}{2}\right)^{2}$ $\displaystyle =\frac{a^{2}}{3}+\frac{1}{a}-2 \sqrt{a}$ 令 $\displaystyle \mathrm{g}(\mathrm{a})=\frac{a^{2}}{3}+\frac{1}{a}-2 \sqrt{a}$ $\displaystyle g^{\prime}(a)=\frac{2}{3} a-\frac{1}{a^{2}}-\frac{1}{\sqrt{a}}$. $\displaystyle \geqslant \frac{2}{3} \times 2-\frac{1}{2^{2}}-\frac{1}{\sqrt{2}}\gt 0$ ． $g(a)$ 单调递增 $\displaystyle \therefore g(a) \geqslant g(2)=\frac{4}{3}+\frac{1}{2}-2 \sqrt{2}=\frac{11}{6}-2 \sqrt{2}$ ． 综上，当 $\displaystyle a=2, b=c=\frac{1}{\sqrt{2}}$ 时取最小 $\displaystyle \frac{11}{6}-2 \sqrt{2}$ 。