北京大学 2022年强基第16题
📝 题目
已知正整数 $n$ 不大于 $2022, n^{3}$ 除以 1000 的余数 111 ，则正整数 $n$ 的个数为？
💡 答案解析
【解析】 $$ n^{3} \equiv 111(\bmod 1000) $$ $\Leftrightarrow n^{3} \equiv 7(\bmod 8)$ 且 $n^{3} \equiv 111(\bmod 125)$ ． $n^{3} \equiv 7(\bmod 8) \Leftrightarrow n \equiv 7(\bmod 8)$ 这里检验 $n \equiv 1,3,5$（mod8）不成立 $$ n^{3} \equiv 111(\bmod 125) \Rightarrow n^{3} \equiv 1(\bmod 5) \Rightarrow n \equiv 1(\bmod 5) $$ 这里检验 $\mathrm{n} \equiv 2,3,4(\bmod 5)$ 不成立 $$ n^{3} \equiv 11(\bmod 25) . \Rightarrow n \equiv 21(\bmod 25) $$
📋 详细解题步骤
步骤 1/6
目标：将模1000的同余式分解为模8和模125
由于1000=8×125且8与125互质，原同余式等价于n^3≡111(mod 8)和n^3≡111(mod 125)。
公式：n^3 ≡ 111 (mod 1000) ⇔ n^3 ≡ 111 (mod 8) 且 n^3 ≡ 111 (mod 125)
提示：利用中国剩余定理分解模数
步骤 2/6
目标：求解模8的同余式
计算111 mod 8 = 7，所以n^3≡7(mod 8)。检验n mod 8的可能值：1^3=1, 3^3=27≡3, 5^3=125≡5, 7^3=343≡7，故n≡7(mod 8)。
公式：n^3 ≡ 7 (mod 8) ⇒ n ≡ 7 (mod 8)
提示：只需检验奇数，因为偶数立方被8整除
步骤 3/6
目标：求解模125的同余式第一步：模5
由n^3≡111(mod 125)得n^3≡111≡1(mod 5)。检验n mod 5：1^3=1, 2^3=8≡3, 3^3=27≡2, 4^3=64≡4，故n≡1(mod 5)。
公式：n^3 ≡ 1 (mod 5) ⇒ n ≡ 1 (mod 5)
提示：利用费马小定理或直接枚举
步骤 4/6
目标：求解模125的同余式第二步：模25
设n=5k+1，代入n^3≡111(mod 125)得(5k+1)^3=125k^3+75k^2+15k+1≡15k+1≡111(mod 125)，即15k≡110(mod 125)，化简得3k≡22(mod 25)，解得k≡24(mod 25)，故n≡5×24+1=121(mod 125)。
公式：n ≡ 121 (mod 125)
提示：注意模125下化简系数
步骤 5/6
目标：合并模8和模125的结果
解同余方程组：n≡7(mod 8)且n≡121(mod 125)。由n=125m+121，代入模8：125m+121≡5m+1≡7(mod 8) ⇒ 5m≡6(mod 8) ⇒ m≡6(mod 8)，故n=125(8t+6)+121=1000t+871。
公式：n ≡ 871 (mod 1000)
提示：使用中国剩余定理
步骤 6/6
目标：计算满足条件的n的个数
n为正整数且不大于2022，形如n=1000t+871。t=0时n=871，t=1时n=1871，t=2时n=2871>2022，故共有2个。
公式：n = 871, 1871
提示：注意n≤2022
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