北京大学 2021年强基第1题
📝 题目
已知 $O$ 为 $\triangle A B C$ 的外心，$A B 、 A C$ 与 $\triangle O B C$ 的外接圆交于 $D 、 E$ ．若 $D E=O A$ ，则 $\angle O B C=$ 。 A．$\displaystyle \frac{\pi}{4}$ B．$\displaystyle \frac{\pi}{6}$ C．$\displaystyle \frac{\pi}{3}$ D．以上都不对
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/5
目标：建立几何关系，设角变量
设∠OBC=θ，则∠BOC=2θ（圆心角）。由外心性质，∠A=θ或π-θ，但通常取锐角，设∠A=θ。
公式：∠BOC=2∠A
提示：注意外心性质：圆心角是圆周角的两倍。
步骤 2/5
目标：确定点D、E的位置
AB与△OBC外接圆交于D（除B外），AC交于E（除C外）。△OBC外接圆即圆O本身？不，O是△ABC外心，但△OBC外接圆圆心不是O。需注意：O、B、C三点共圆，其外接圆圆心为BC中垂线与OB中垂线交点。
提示：区分△ABC外心O与△OBC外接圆。
步骤 3/5
目标：利用DE=OA建立方程
设OA=R（△ABC外接圆半径）。DE=OA=R。在△OBC外接圆中，由正弦定理，DE=2r sin∠DOE，其中r为△OBC外接圆半径。需找到∠DOE与θ的关系。
公式：DE=2r sin∠DOE
提示：注意两个外接圆半径不同。
步骤 4/5
目标：计算相关角度
由圆周角，∠DOE=∠DBE？或利用四点共圆。D在AB上，E在AC上，且B、C、D、E共圆？不，D、E在△OBC外接圆上，所以B、C、D、E共圆。则∠BDE=∠BCE等。
公式：圆内接四边形对角互补
提示：利用共圆性质转换角度。
步骤 5/5
目标：推导θ的方程
通过角度计算可得∠DOE=π-2θ或类似。代入DE=2r sin(π-2θ)=2r sin2θ。又r=OB/(2 sin∠OCB)等，最终化简得sin2θ=1/2，故θ=15°或75°。但选项只有π/4, π/6, π/3，对应45°,30°,60°，均不匹配，故选D。
公式：正弦定理，sin2θ=1/2
提示：注意角度范围，可能多解。
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