北京大学 2021年强基第2题
📝 题目
方程 $y^{3}+f^{4}=d^{5}$ 的正整数解 $(y, f, d)$ 的组数为 $\_\_\_\_$。
💡 答案解析
答案：无穷 解：考虑到 $2^{n}+2^{n}=2^{n+1}$ ，取 $n \equiv 0(\bmod 3), n \equiv 0(\bmod 4), n \equiv-1(\bmod 5)$ 即可， 例如取 $n=60 k+24, k \in \mathrm{~N}$ ， 此时 $\left(2^{20 k+8}\right)^{3}+\left(2^{15 k+6}\right)^{4}=\left(2^{12 k+5}\right)^{5}$ 。
📋 详细解题步骤
步骤 1/5
目标：分析方程形式，寻找构造无穷多解的方法
方程 y^3 + f^4 = d^5 是指数型丢番图方程，考虑利用幂的运算性质构造形如 2^a + 2^b = 2^c 的解，通过调整指数使各项成为所需的幂次。
公式：2^a + 2^b = 2^c 当且仅当 a=b=c-1
提示：尝试将 y, f, d 都设为 2 的幂，即 y=2^A, f=2^B, d=2^C，则方程化为 2^(3A) + 2^(4B) = 2^(5C)。
步骤 2/5
目标：将方程转化为指数条件
设 y=2^A, f=2^B, d=2^C，代入得 2^(3A) + 2^(4B) = 2^(5C)。要使两项相加等于一项，需使两项指数相等且等于 5C-1，即 3A = 4B = 5C-1。
公式：3A = 4B = 5C-1
提示：这是关键条件，确保两个幂相等且和为下一个幂。
步骤 3/5
目标：求解指数方程组
由 3A=4B 得 A=4k, B=3k，代入 3A=5C-1 得 12k=5C-1，即 5C=12k+1，所以 C=(12k+1)/5。要求 C 为整数，即 12k+1 ≡ 0 mod 5，即 2k+1 ≡ 0 mod 5，解得 k ≡ 2 mod 5。
公式：k ≡ 2 (mod 5)
提示：取 k=5t+2，则 A=20t+8, B=15t+6, C=12t+5。
步骤 4/5
目标：构造无穷多组解
取 t 为非负整数，得 A=20t+8, B=15t+6, C=12t+5。则 y=2^(20t+8), f=2^(15t+6), d=2^(12t+5) 满足方程。由于 t 可取任意自然数，故有无穷多组正整数解。
公式：y=2^(20t+8), f=2^(15t+6), d=2^(12t+5)
提示：验证：y^3=2^(60t+24), f^4=2^(60t+24), d^5=2^(60t+25)，和为 2^(60t+25)。
步骤 5/5
目标：得出结论
因此方程有无穷多组正整数解，组数为无穷。
提示：注意题目要求正整数解，构造的解均为正整数。
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