北京大学 2021年强基第3题
📝 题目
若实数 $a, b, c, d$ 满足 $a b+b c+c d+d a=1$ ，则 $a^{2}+2 b^{2}+3 c^{2}+4 d^{2}$ 的最小值为 $\_\_\_\_$。
💡 答案解析
答案： 2 解：因式分解可得 $(a+c)(b+d)=1$ ， 根据柯西不等式可得 $\displaystyle \left(a^{2}+3 c^{2}\right)\left(1+\frac{1}{3}\right) \geqslant(a+c)^{2}$ ，即 $\displaystyle a^{2}+3 c^{2} \geqslant \frac{3}{4}(a+c)^{2}$ ， 同样地，$\displaystyle \left(2 b^{2}+4 d^{2}\right)\left(\frac{1}{2}+\frac{1}{4}\right) \geqslant(b+d)^{2}$ ，即 $\displaystyle 2 b^{2}+4 d^{2} \geqslant \frac{4}{3}(b+d)^{2}$ ， 因此 $\displaystyle a^{2}+2 b^{2}+3 c^{2}+4 d^{2} \geqslant \frac{3}{4}(a+c)^{2}+\frac{4}{3}(b+d)^{2} \geqslant 2(a+c)(b+d)=2$ ， 等号成立条件为 $a: b: c: d=3: 2: 1: 1$ ，其中 $\displaystyle c=d= \pm \frac{\sqrt{3}}{6}$ 。
📋 详细解题步骤
步骤 1/5
目标：因式分解条件式
将条件式 ab+bc+cd+da 分组因式分解为 (a+c)(b+d)=1。
公式：ab+bc+cd+da = (a+c)(b+d)
提示：注意分组方式：ab+bc = b(a+c)，cd+da = d(a+c)，合并得 (a+c)(b+d)。
步骤 2/5
目标：对 a²+3c² 应用柯西不等式
由柯西不等式，(a²+3c²)(1+1/3) ≥ (a+c)²，化简得 a²+3c² ≥ (3/4)(a+c)²。
公式：(x₁²+x₂²)(y₁²+y₂²) ≥ (x₁y₁+x₂y₂)²
提示：取 x₁=a, x₂=√3 c, y₁=1, y₂=1/√3，则 x₁y₁+x₂y₂ = a+c。
步骤 3/5
目标：对 2b²+4d² 应用柯西不等式
由柯西不等式，(2b²+4d²)(1/2+1/4) ≥ (b+d)²，化简得 2b²+4d² ≥ (4/3)(b+d)²。
公式：(x₁²+x₂²)(y₁²+y₂²) ≥ (x₁y₁+x₂y₂)²
提示：取 x₁=√2 b, x₂=2d, y₁=1/√2, y₂=1/2，则 x₁y₁+x₂y₂ = b+d。
步骤 4/5
目标：求和并利用条件式求最小值
将两个不等式相加：a²+2b²+3c²+4d² ≥ (3/4)(a+c)² + (4/3)(b+d)²。由均值不等式，(3/4)(a+c)² + (4/3)(b+d)² ≥ 2(a+c)(b+d)=2。因此最小值为2。
公式：均值不等式：x²+y² ≥ 2xy
提示：令 x=√(3/4)(a+c), y=√(4/3)(b+d)，则 x²+y² ≥ 2xy = 2(a+c)(b+d)。
步骤 5/5
目标：确定等号成立条件
等号成立需两个柯西不等式取等且均值不等式取等。解得 a:b:c:d=3:2:1:1，代入条件得 c=d=±√3/6。
公式：柯西取等：a/1 = √3 c/(1/√3) 即 a=3c；2b²+4d²取等：√2 b/(1/√2)=2d/(1/2) 即 b=2d；均值取等：(3/4)(a+c)² = (4/3)(b+d)²。
提示：联立比例关系与条件 (a+c)(b+d)=1 可解出具体值。
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