北京大学 2021年强基第4题

答案：C 解：由 $2^{3} \equiv 1(\bmod 7)$ ，可知 $2^{i}$ 模 7 是三循环的， $$ \begin{aligned} 2^{3 k} & \equiv 1(\bmod 7), 2^{3 k+1} \equiv 2(\bmod 7), 2^{3 k+2} \equiv 4(\bmod 7), \text { 其中 } k \in \mathrm{~N}, \\ Y & =\sum_{i=0}^{2021}\left[\frac{2^{i}}{7}\right]=\sum_{i=0}^{2021} \frac{2^{i}}{7}-\frac{2022}{3}\left(\frac{1}{7}+\frac{2}{7}+\frac{4}{7}\right)=\frac{2^{2022}-1}{7} 674 \\ & =\frac{\left(2^{3}-1\right)\left(1+2^{3}+2^{6}+\cdots+2^{2019}\right)}{7}-674=1+2^{3}+2^{6}+\cdots+2^{2019}-674, \end{aligned} $$ 结合 $8^{4 k} \equiv 6(\bmod 10), 8^{4 k+1} \equiv 8(\bmod 10), 8^{4 k+2} \equiv 4(\bmod 10), 8^{4 k+3} \equiv 2(\bmod 10)$ （其中 $k \in \mathrm{~N}$ ），可知 $Y \equiv 1+168(8+4+2+6)+8-674 \equiv 5(\bmod 10)$ 。