北京大学 2021年强基第5题

答案： 20101 解：从第 $k$ 个二次曲线开始计算，新增加一个二次曲线变成 $k+1$ 条的情形，这条二次曲线与原来每一个二次曲线最多有 4 个交点，相当于最多新增加 $4 k$ 个交点， （1）如果是椭圆或者圆，被分成 $4 k$ 段圆弧，相当于增加连通区域最多 $4 k$ 个； （2）如果是抛物线，被分成 $4 k+1$ 段曲线，相当于最多增加连通区域 $4 k+1$ 个； （3）如果是双曲线，被分成 $4 k+2$ 段曲线，相当于最多增加连通区域 $4 k+2$ 个； （4）如果是两条直线，明显相交直线更优，相当于依次加入两条直线，最多增加连通区 域 $4 k+3$ 个， 如果包括二次曲线的退化情形，例如两条相交直线，则从第一个曲线开始，每次均引入相交直线， 答案为 $4+(4 \times 1+3)+(4 \times 2+3)+\cdots+(4 \times 99+3)=20101$ ，选取 200 条直线两两相交，但交点不重合的情形均可。 【注】如果二次曲线只计算圆，椭圆，双曲线，抛物线，则从第一个曲线开始，每次均引入双曲线，答案为 $3+(4 \times 1+2)+(4 \times 2+2)+\cdots+(4 \times 99+2)=20001$ ，选取 200 条离心率足够大（几乎一组平行直线），绕着其中心旋转 $180^{\circ}$ 过程中，选取任意 200 个位置即可。