北京大学 2021年强基第6题
📝 题目
已知实数 $x_{0} \in[0,1)$ ，数列 $\left\{x_{k}\right\}$ 满足：若 $\displaystyle x_{n-1}\lt \frac{1}{2}$ ，则 $x_{n}=2 x_{n-1}$ ，若 $\displaystyle x_{n-1} \geq \frac{1}{2}$ ，则 $x_{n}=2 x_{n-1}-1(n=1,2, \cdots)$ ．现知 $x_{0}=x_{2021}$ ，则可能的 $x_{0}$ 的个数为 $\_\_\_\_$。
💡 答案解析
答案： $2^{2021}-1$ 解：首先我们证明 $x_{n} \in[0,1)$ 恒成立， 若 $\displaystyle x_{i} \in\left[0, \frac{1}{2}\right)$ ，则 $x_{i+1}=2 x_{i} \in[0,1)$ ； 若 $\displaystyle x_{i} \in\left[\frac{1}{2}, 1\right)$ ，则 $x_{i+1}=2 x_{i}-1 \in[0,1)$ 。 由数学归纳法知，$x_{n} \in[0,1)$ 对 $\forall n \in \mathrm{~N}^{*}$ 成立，那么有 $x_{n}=\left\{x_{n}\right\}=\left\{2^{n} x_{0}\right\}$ ，其中 $\{\alpha\}$ 表示 $\alpha$ 的小数部分， $\therefore x_{2021}=\left\{2^{2021} x_{0}\right\}$ $\therefore\left\{2^{2021} x_{0}\right\}=x_{0}$ ，即 $2^{2021} x_{0}-x_{0}$ 为整数， $\displaystyle \therefore x_{0}=\frac{k}{2^{2021}-1}\left(k=0,1,2, \cdots, 2^{2021}-2\right)$ ， ∴ 可能的 $x_{0}$ 的值共有 $2^{2021}-1$ 个。
📋 详细解题步骤
步骤 1/6
目标：证明数列所有项都在[0,1)内
若x_{n-1}<1/2，则x_n=2x_{n-1}∈[0,1)；若x_{n-1}≥1/2，则x_n=2x_{n-1}-1∈[0,1)。由数学归纳法，所有x_n∈[0,1)。
公式：x_n = 2x_{n-1} (x_{n-1}<1/2) 或 2x_{n-1}-1 (x_{n-1}≥1/2)
提示：注意边界情况，x_{n-1}=1/2时属于第二种情况。
步骤 2/6
目标：将递推关系转化为小数部分表示
由于x_n∈[0,1)，递推关系等价于x_n = {2x_{n-1}}，其中{}表示小数部分。因此x_n = {2^n x_0}。
公式：x_n = {2^n x_0}
提示：小数部分运算满足{2x}=2x当x<1/2，2x-1当x≥1/2。
步骤 3/6
目标：利用条件x_0=x_{2021}建立方程
由x_0=x_{2021}得{2^{2021} x_0}=x_0，即2^{2021}x_0 - x_0为整数，记该整数为k。
公式：2^{2021}x_0 - x_0 = k ∈ Z
提示：小数部分相等意味着两数之差为整数。
步骤 4/6
目标：解出x_0的表达式
由2^{2021}x_0 - x_0 = k得x_0 = k/(2^{2021}-1)。由于x_0∈[0,1)，k可取0,1,...,2^{2021}-2。
公式：x_0 = k/(2^{2021}-1)
提示：注意k不能等于2^{2021}-1，否则x_0=1不在定义域。
步骤 5/6
目标：验证所有k对应的x_0是否满足递推
对于每个k，x_0 = k/(2^{2021}-1)∈[0,1)，且由推导知x_0=x_{2021}。由于递推是确定的，所有这样的x_0都是解。
提示：不需要额外验证，因为推导是充要的。
步骤 6/6
目标：计算解的个数
k从0到2^{2021}-2，共2^{2021}-1个整数，因此可能的x_0个数为2^{2021}-1。
公式：个数 = 2^{2021} - 1
提示：注意k=0对应x_0=0，也包含在内。
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