北京大学 2021年强基第7题
📝 题目
设 $y_{n}=12 \overbrace{22 \cdots 2}^{n}$ ．若 $10^{9}-1 \mid y_{n}$ ，则 $n$ 的最小值为（ ）。 A． 80 B． 242 C． 20 D．以上都不对
💡 答案解析
答案： 80 解：由于 $\displaystyle y_{n}=\overbrace{11 \cdots 1}^{n+1} \times 11=\frac{10^{n+1}-1}{9}$ ， 那么由 $10^{9}-1 \mid y_{n}$ 可得 $$ 10^{9}-1 \left\lvert\, \frac{10^{n+1}-1}{9} \times 11\right. $$ 故 $$ 9 \times\left(10^{9}-1\right) \mid 10^{n+1}-1 $$ 于是 $10^{9}-1 \mid 10^{n+1}-1$ ， 利用辗转相除法可以证明 $\left(a^{m}-1, a^{n}-1\right)=a^{(m, n)}-1$（ $a$ 为大于 1 的正整数） 于是，我们有 $9 \mid n+1$ ．令 $n+1=9 k$ ，待入原式则有 $9 \times\left(10^{9}-1\right) \mid 10^{9 k}-1$ ，
📋 详细解题步骤
步骤 1/5
目标：将yn表示为简洁形式
yn = 12 22...2 (n个2) = 11 × 11...1 (n+1个1) = 11 × (10^(n+1)-1)/9
公式：yn = 11 × (10^(n+1)-1)/9
提示：注意数字结构：12后面跟n个2，相当于11乘以11...1（n+1个1）
步骤 2/5
目标：利用整除条件建立方程
由10^9-1 | yn，代入yn表达式得10^9-1 | 11×(10^(n+1)-1)/9，即9×(10^9-1) | 11×(10^(n+1)-1)。由于gcd(11,10^9-1)=1，故9×(10^9-1) | 10^(n+1)-1。
公式：9×(10^9-1) | 10^(n+1)-1
提示：注意11与10^9-1互质，可约去
步骤 3/5
目标：推导n+1被9整除
由10^9-1 | 10^(n+1)-1，利用性质(a^m-1, a^n-1)=a^(gcd(m,n))-1，得9 | n+1。令n+1=9k。
公式：10^9-1 | 10^(n+1)-1 ⇒ 9 | n+1
提示：辗转相除法性质：a^m-1与a^n-1的最大公因数为a^(gcd(m,n))-1
步骤 4/5
目标：代入并化简条件
代入n+1=9k，条件变为9×(10^9-1) | 10^(9k)-1。而10^(9k)-1 = (10^9)^k - 1，可被10^9-1整除，还需被9整除。
公式：9×(10^9-1) | 10^(9k)-1
提示：10^(9k)-1 = (10^9)^k - 1，利用二项式展开或因式分解
步骤 5/5
目标：确定k的最小值
10^(9k)-1被9整除恒成立（因为10≡1 mod 9）。还需10^9-1 | 10^(9k)-1，即9 | 9k，恒成立。但需9×(10^9-1)整除，即10^(9k)-1被10^9-1整除后商被9整除。实际上，10^(9k)-1 = (10^9-1)(10^(9(k-1))+...+1)，需9 | 10^(9(k-1))+...+1。当k=9时，和为9项，每项≡1 mod 9，和为9≡0 mod 9。故k最小为9，n=9k-1=80。
公式：k=9时，10^(9(k-1))+...+1 ≡ 9 mod 9 = 0
提示：注意模9运算：10^m ≡ 1 mod 9
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