北京大学 2021年强基第8题
📝 题目
已知 $a 、 b 、 c$ 是二个不全相等的实数且满足 $a=a b+c 、 b=b c+a 、 c=c a+b$ ，则 $a+b+c=$ 。 A． 0 B． 3 C． 5 D．以上都不对
💡 答案解析
答案： 3 解：先证明 $a 、 b 、 c$ 均不为 0 ，若否，不妨设 $a=0$ ，则由 $a=a b+c$ 可得 $c=0$ ，同理可得 $b=0$ ，与 $a 、 b 、 c$ 不全相等矛盾，所以 $a 、 b 、 c$ 均不为 0 ， 题目中三式相加容易得到 $a b+b c+c a=0$ ， 又因为题目中三式等价于 $a(1-b)=c, b(1-c)=a 、 c(1-a)=b$ ， 此三式相乘得到 $a b c(1-a)(1-b)(1-c)=a b c$ ， 由 $a b c \neq 0$ ，所以 $(1-a)(1-b)(1-c)=1$ ，即 $1-(a+b+c)-(a b+b c+c a)-a b c=1$ ， 由于 $a b+b c+c a=0$ ，所以 $a b c=-(a+b+c)$ ， 又因为题目中三式等价于 $a c=a b c+c^{2} 、 a b=a b c+a^{2} 、 b c=a b c+b^{2}$ ， 此三式相加得到 $a b+b c+c a=3 a b c+a^{2}+b^{2}+c^{2}$ ， 即 $3(a b+b c+c a)=3 a b c+(a+b+c)^{2}$ ， 由 $a b+b c+c a=0$ 及 $a b c=-(a+b+c)$ 得到 $-3(a+b+c)+(a+b+c)^{2}=0$ 因为 $a+b+c=-a b c \neq 0$ ， 所以 $a+b+c=3$ 。
📋 详细解题步骤
步骤 1/7
目标：证明a,b,c均不为0
假设a=0，由a=ab+c得c=0，再由b=bc+a得b=0，与a,b,c不全相等矛盾，故a,b,c均不为0。
提示：反证法
步骤 2/7
目标：得到ab+bc+ca=0
将三个方程相加：a+b+c = ab+bc+ca + a+b+c，化简得ab+bc+ca=0。
公式：a+b+c = ab+bc+ca + a+b+c
提示：注意等式两边同时减去a+b+c
步骤 3/7
目标：推导乘积关系
原方程化为a(1-b)=c, b(1-c)=a, c(1-a)=b。三式相乘得abc(1-a)(1-b)(1-c)=abc，因abc≠0，故(1-a)(1-b)(1-c)=1。
公式：(1-a)(1-b)(1-c)=1
提示：注意abc非零可约去
步骤 4/7
目标：展开乘积关系得到abc=-(a+b+c)
展开(1-a)(1-b)(1-c)=1得1-(a+b+c)+(ab+bc+ca)-abc=1，代入ab+bc+ca=0得abc=-(a+b+c)。
公式：abc = -(a+b+c)
提示：注意展开后化简
步骤 5/7
目标：利用另一组等价方程
原方程乘以对应变量：ac=abc+c^2, ab=abc+a^2, bc=abc+b^2。三式相加得ab+bc+ca=3abc+a^2+b^2+c^2。
公式：ab+bc+ca = 3abc + a^2+b^2+c^2
提示：注意等式左边为0
步骤 6/7
目标：代入已知关系求解
代入ab+bc+ca=0和abc=-(a+b+c)得0=-3(a+b+c)+(a+b+c)^2，即(a+b+c)(a+b+c-3)=0。
公式：(a+b+c)(a+b+c-3)=0
提示：注意因式分解
步骤 7/7
目标：排除a+b+c=0的情况
若a+b+c=0，则abc=0，与abc≠0矛盾，故a+b+c=3。
提示：利用abc非零
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