北京大学 2021年强基第9题
📝 题目
$A D$ 为 $\triangle A B C$ 中 $\angle A$ 的平分线，过 $A$ 作 $A D$ 的垂线 $A H$ ，过 $C$ 作 $C E / / A D$ 交 $A H$ 于点 $E$ ，若 $B E$与 $A D$ 交于点 $F$ ，且 $A B=6, A C=8, B C=7$ ，则 $C F=$ 。 A．$\displaystyle \frac{2 \sqrt{6}}{3}$ B．$\sqrt{10}$ C． 3 D．以上都不对
💡 答案解析
答案：$\sqrt{31}$ 解：延长 $C E, B A$ 交于 $G . A E$ 是 $\angle B A C$ 的外角平分线，结合 $A E$垂直于 CE 易可知 $E$ 为 $C G$ 的中点，从而 $F$ 为 $A D$ 的中点，因此， $$ \begin{aligned} |\overrightarrow{C F}| & =\frac{1}{2}|\overrightarrow{C D}+\overrightarrow{C A}| \\ & =\frac{1}{2} \sqrt{|\overrightarrow{C D}|^{2}+|\overrightarrow{C A}|^{2}+2 \overrightarrow{C D} \cdot \overrightarrow{C A}} \\ & =\frac{1}{2} \sqrt{4^{2}+8^{2}+2 \times 4 \times 8 \times \cos \angle B C A} \\ & =\frac{1}{2} \sqrt{124} \\ & =\sqrt{31} \end{aligned} $$ 图2：第 9 题图 故 $C F=\sqrt{31}$ 。
📋 详细解题步骤
步骤 1/8
目标：构造辅助线，延长CE和BA交于点G
延长CE和BA交于点G，利用平行线性质，将问题转化为中点问题。
提示：通过构造辅助线，将分散的条件集中。
步骤 2/8
目标：证明AE是∠BAC的外角平分线
因为AD是内角平分线，AH⊥AD，所以AH是外角平分线，即AE是∠BAC的外角平分线。
提示：利用角平分线性质：内角平分线和外角平分线垂直。
步骤 3/8
目标：证明E是CG的中点
由CE∥AD，结合AE是外角平分线，可证△AEG是等腰三角形，从而E是CG中点。
提示：平行线与角平分线结合得到等腰三角形。
步骤 4/8
目标：证明F是AD的中点
在△ABG中，E是CG中点，AD∥CE，所以F是AD中点（利用三角形中位线或平行线分线段成比例）。
提示：利用平行线分线段成比例定理。
步骤 5/8
目标：用向量表示CF
因为F是AD中点，所以CF = (CD + CA)/2，转化为向量模长计算。
公式：CF = (CD + CA)/2
提示：中点向量公式。
步骤 6/8
目标：计算CD长度
由角平分线定理，CD/DB = AC/AB = 8/6 = 4/3，且BC=7，解得CD=4。
公式：CD/DB = AC/AB
提示：角平分线定理。
步骤 7/8
目标：计算cos∠BCA
在△ABC中，由余弦定理：cos∠BCA = (AC²+BC²-AB²)/(2·AC·BC) = (64+49-36)/(2×8×7)=77/112=11/16。
公式：cos∠BCA = (AC²+BC²-AB²)/(2·AC·BC)
提示：余弦定理。
步骤 8/8
目标：计算CF的长度
代入向量模长公式：CF = 1/2 √(CD²+CA²+2·CD·CA·cos∠BCA) = 1/2 √(16+64+2×4×8×11/16) = 1/2 √124 = √31。
公式：|CF| = 1/2 √(CD²+CA²+2·CD·CA·cos∠BCA)
提示：向量模长公式。
📷 拍照上传批改
拍照上传批改功能已预留入口，后续接入图片上传、OCR识别与AI批改。