北京大学 2021年强基第10题
📝 题目
设 $a_{n}$ 是与 $\displaystyle \sqrt{\frac{n}{2}}$ 的差的绝对值最小的整数，$b_{n}$ 是与 $\sqrt{2 n}$ 的差的绝对值最小的整数，记 $\displaystyle \left\{\frac{1}{a_{n}}\right\}$ 的前 $n$ 项和为 $\displaystyle S_{n},\left\{\frac{1}{b_{n}}\right\}$ 的前 $n$ 项和为 $T_{n}$ ．则 $2 T_{100}-S_{100}$ 的值为 。 A． 1 B． 0 C．$\displaystyle \frac{6}{7}$ D．以上都不对
💡 答案解析
答案： 1 解： $$ \begin{aligned} & a_{n}=k \Leftrightarrow \sqrt{\frac{n}{2}} \in\left(k-\frac{1}{2}, k+\frac{1}{2}\right) \Leftrightarrow \frac{n}{2} \in\left(k^{2}-k+\frac{1}{4}, k^{2}+k+\frac{1}{4}\right) \\ & \Leftrightarrow n \in\left(2 k^{2}-2 k+\frac{1}{2}, 2 k^{2}+2 k+\frac{1}{2}\right) \Leftrightarrow n \in\left[2 k^{2}-2 k+1,2 k^{2}+2 k\right] \end{aligned} $$ 故有 $4 k$ 个 $n$ 使得 $a_{n}=k$ 于是 $$ S_{100}=\sum_{k=1}^{6}\left(\frac{1}{k} \times 4 k\right)+\frac{1}{7} \times 16=24+\frac{16}{7} $$
📋 详细解题步骤
步骤 1/9
目标：理解题意，明确an和bn的定义
an是与√(n/2)差的绝对值最小的整数，bn是与√(2n)差的绝对值最小的整数。需要计算2T100 - S100。
提示：注意an和bn实际上相同，因为√(2n)=2√(n/2)，但整数差的最小化导致相同序列。
步骤 2/9
目标：推导an取整数值k的条件
an=k当且仅当√(n/2)∈(k-1/2, k+1/2)，平方得n/2∈(k²-k+1/4, k²+k+1/4)，即n∈(2k²-2k+1/2, 2k²+2k+1/2)。由于n整数，得n∈[2k²-2k+1, 2k²+2k]。
公式：n∈[2k²-2k+1, 2k²+2k]
提示：区间长度为4k，故有4k个n使得an=k。
步骤 3/9
目标：计算S100
k从1到6，每个k有4k个n，贡献4k*(1/k)=4。k=7时，n从2*49-14+1=85到2*49+14=112，但只到100，故有100-84=16个n，贡献16/7。S100=4*6+16/7=24+16/7。
公式：S100 = Σ_{k=1}^6 (4k * 1/k) + (100-84)/7 = 24 + 16/7
提示：注意k=7时只有16项。
步骤 4/9
目标：推导bn与an的关系
bn是与√(2n)差的绝对值最小的整数。由于√(2n)=√2*√n，而an是与√(n/2)差的绝对值最小的整数，注意到√(2n)=2√(n/2)，但整数差最小化时，bn实际上等于an。因为若an=k，则√(n/2)接近k，那么√(2n)=2√(n/2)接近2k，故bn=2k？需验证。
提示：实际上，由定义，bn与an不同，但通过变换可发现bn=an？
步骤 5/9
目标：重新推导bn的条件
bn=m当且仅当√(2n)∈(m-1/2, m+1/2)，平方得2n∈(m²-m+1/4, m²+m+1/4)，即n∈(m²/2 - m/2 + 1/8, m²/2 + m/2 + 1/8)。整数n∈[⌊m²/2 - m/2 + 1/8⌋+1, ⌊m²/2 + m/2 + 1/8⌋]。
公式：n∈[⌊(m²-m)/2⌋+1, ⌊(m²+m)/2⌋]
提示：注意m为整数，区间长度约为m。
步骤 6/9
目标：计算T100
由对称性，实际上an和bn是相同的序列，因为√(n/2)和√(2n)只是缩放，但整数差最小化结果相同。验证：若an=k，则√(n/2)≈k，故√(2n)=2√(n/2)≈2k，但bn是整数，可能为2k或2k±1。但通过条件可证bn=an。实际上，由an定义区间与bn定义区间相同，故an=bn。因此T100=S100。
公式：T100 = S100 = 24 + 16/7
提示：注意：实际上an和bn相等，因为区间变换后相同。
步骤 7/9
目标：计算2T100 - S100
由于T100=S100，所以2T100 - S100 = 2S100 - S100 = S100 = 24 + 16/7 = (168+16)/7 = 184/7 ≈ 26.2857，但选项为1,0,6/7，故需检查。实际上，可能an与bn不同，需重新计算。
公式：2T100 - S100 = S100 = 184/7
提示：结果不是选项，说明an与bn不同。
步骤 8/9
目标：正确计算bn的分布
由bn条件：n∈[⌊(m²-m)/2⌋+1, ⌊(m²+m)/2⌋]。计算m=1: n∈[1,1]；m=2: n∈[2,3]；m=3: n∈[4,6]；m=4: n∈[7,10]；m=5: n∈[11,15]；m=6: n∈[16,21]；m=7: n∈[22,28]；m=8: n∈[29,36]；m=9: n∈[37,45]；m=10: n∈[46,55]；m=11: n∈[56,66]；m=12: n∈[67,78]；m=13: n∈[79,91]；m=14: n∈[92,105]。到100，m=14有9项（92-100共9项）。T100=Σ_{m=1}^{13} (m个项？每个m有m项？) 实际上每个m有m项？检查：m=1有1项，m=2有2项，...，m=13有13项，m=14有9项。T100=Σ_{m=1}^{13} (m * 1/m) + 9/14 = 13 + 9/14 = (182+9)/14 = 191/14。
公式：T100 = 13 + 9/14 = 191/14
提示：注意每个m有m项，因为区间长度为m。
步骤 9/9
目标：计算最终结果
S100=24+16/7=24+16/7=(168+16)/7=184/7。2T100=2*(191/14)=191/7。2T100 - S100 = 191/7 - 184/7 = 7/7 = 1。
公式：2T100 - S100 = 1
提示：答案为1，对应选项A。
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