北京大学 2021年强基第11题
📝 题目
设正整数 $n \leqslant 2021$ ，且 $n^{5}-5 n^{3}+4 n+7$ 是完全平方数，则可能的 $n$ 的个数为 $\_\_\_\_$。
💡 答案解析
答案： 0 解：$n^{5}-5 n^{3}+4 n+7=n\left(n^{2}-1\right)\left(n^{2}-4\right)+7$ ． 由于完全平方数模 4 余 0 或 1 ，故 $\left(n^{2}-1\right)\left(n^{2}-4\right)$ 被 4 整除．从而 $n\left(n^{2}-1\right)\left(n^{2}-4\right)+7$模 4 余 3 ，不可能是完全平方数，故这样的 $n$ 共有 0 个。
📋 详细解题步骤
步骤 1/5
目标：因式分解表达式
将 n^5 - 5n^3 + 4n + 7 因式分解为 n(n^2-1)(n^2-4) + 7。
公式：n^5 - 5n^3 + 4n = n(n^4 - 5n^2 + 4) = n(n^2-1)(n^2-4)
提示：注意提取公因式 n，然后利用平方差公式。
步骤 2/5
目标：分析模4余数
完全平方数模4余0或1。计算 n(n^2-1)(n^2-4) 模4的余数：由于 n^2-1 和 n^2-4 是连续奇数或偶数，乘积被4整除。
公式：完全平方数 ≡ 0 或 1 (mod 4)
提示：考虑 n 的奇偶性：若 n 为偶数，n^2-1 和 n^2-4 为奇数，乘积为奇数，但 n 为偶数，整体为偶数；若 n 为奇数，n^2-1 和 n^2-4 为偶数，乘积被4整除。
步骤 3/5
目标：确定表达式模4余数
无论 n 奇偶，n(n^2-1)(n^2-4) 被4整除，所以 n(n^2-1)(n^2-4) + 7 ≡ 3 (mod 4)。
公式：n(n^2-1)(n^2-4) ≡ 0 (mod 4) ⇒ 原式 ≡ 7 ≡ 3 (mod 4)
提示：7 mod 4 = 3。
步骤 4/5
目标：判断是否为完全平方数
因为完全平方数模4只能为0或1，而表达式模4余3，所以不可能为完全平方数。
公式：完全平方数 ≠ 3 (mod 4)
提示：矛盾，故无解。
步骤 5/5
目标：得出结论
不存在满足条件的正整数 n ≤ 2021，因此个数为0。
提示：答案：0
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