北京大学 2021年强基第12题
📝 题目
方程 $x^{2}-2 x y+3 y^{2}-4 x+5=0$ 的整数解的组数为 $\_\_\_\_$。
💡 答案解析
答案： 2 解：方程等价于 $x^{2}-(2 y+4) x+3 y^{2}+5=0$ ， 判别式 $\Delta=(2 y+4)^{2}-4\left(3 y^{2}+5\right)=4\left(-2 y^{2}+4 y-1\right)=4\left(1-2(y-1)^{2}\right) \leqslant 4$ ． 判别式是一个平方数，经检验只能 $\Delta=4$ ，此时 $y=1$ ， 方程转化为 $x^{2}-6 x+8=0$ ，解得 $x=2$ 或 $x=4$ ， 因此 $(x, y) \in\{(2,1),(4,1)\}$ 。
📋 详细解题步骤
步骤 1/6
目标：将方程视为关于x的二次方程
将原方程整理为关于x的二次方程形式：x^2 - (2y+4)x + (3y^2+5) = 0。
公式：x^2 - (2y+4)x + (3y^2+5) = 0
提示：将y视为参数，便于使用判别式。
步骤 2/6
目标：计算判别式Δ
判别式Δ = (2y+4)^2 - 4(3y^2+5) = 4(-2y^2+4y-1) = 4[1-2(y-1)^2]。
公式：Δ = 4[1-2(y-1)^2]
提示：注意化简为完全平方形式。
步骤 3/6
目标：确定Δ的取值范围
由于Δ≥0且为完全平方数，由表达式知Δ≤4，且Δ是非负完全平方数，可能值为0,1,4。
公式：Δ = 4[1-2(y-1)^2] ≤ 4
提示：平方数限制Δ的可能取值。
步骤 4/6
目标：检验Δ的可能值
Δ=0时，1-2(y-1)^2=0，y无整数解；Δ=1时，4[1-2(y-1)^2]=1，左边是4的倍数，不可能；Δ=4时，1-2(y-1)^2=1，得y=1。
公式：Δ=4 ⇒ y=1
提示：排除其他可能，得到唯一y值。
步骤 5/6
目标：代入y=1解x
将y=1代入原方程得x^2-6x+8=0，解得x=2或x=4。
公式：x^2-6x+8=0 ⇒ x=2或4
提示：直接解二次方程。
步骤 6/6
目标：得出整数解组数
整数解为(2,1)和(4,1)，共2组。
提示：答案：2组。
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