北京大学 2021年强基第13题
📝 题目
现有 7 把钥匙和 7 把锁，用这些钥匙随机开锁，则 $D_{1}, D_{2}, D_{3}$ 这三把钥匙不能打开对应的锁的概率是 $\_\_\_\_$。
💡 答案解析
答案：$\displaystyle \frac{67}{105}$ 解：全部情形共有 $7!$ 种。 记第 $i$ 把锁被打开的情形构成集合 $A_{i}, i=1,2,3$ ， 则 $\left|A_{i}\right|=6!,\left|A_{i} \cap A_{j}\right|=5!,\left|A_{1} \cap A_{2} \cap A_{3}\right|=4!$ ， 由容斥原理知概率为 $\displaystyle \frac{7!-3 \times 6!+3 \times 5!-4!}{7!}=\frac{67}{105}$ 。
📋 详细解题步骤
步骤 1/7
目标：计算所有可能的开锁方式总数
7把钥匙随机开7把锁，所有可能的对应方式为7把钥匙的全排列，总数为7! = 5040种。
公式：7!
提示：注意每把钥匙只能开一把锁，且每把锁只能被一把钥匙打开。
步骤 2/7
目标：定义事件并计算单个事件的数量
设事件A_i表示第i把钥匙打开对应的锁（i=1,2,3）。则|A_i| = 6!，因为固定第i把钥匙正确，其余6把钥匙任意排列。
公式：|A_i| = 6!
提示：事件A_i是第i把钥匙正确开锁的情形。
步骤 3/7
目标：计算两个事件同时发生的数量
对于i≠j，|A_i ∩ A_j| = 5!，因为固定两把钥匙正确，其余5把钥匙任意排列。
公式：|A_i ∩ A_j| = 5!
提示：注意三个事件两两交集的数量相同。
步骤 4/7
目标：计算三个事件同时发生的数量
|A_1 ∩ A_2 ∩ A_3| = 4!，因为固定三把钥匙正确，其余4把钥匙任意排列。
公式：|A_1 ∩ A_2 ∩ A_3| = 4!
提示：三个事件同时发生意味着前三把钥匙都正确。
步骤 5/7
目标：应用容斥原理求至少一把钥匙正确的数量
至少一把钥匙正确的情形数为：3×6! - 3×5! + 4! = 3×720 - 3×120 + 24 = 2160 - 360 + 24 = 1824。
公式：|A_1 ∪ A_2 ∪ A_3| = 3×6! - 3×5! + 4!
提示：容斥原理：|∪A_i| = Σ|A_i| - Σ|A_i∩A_j| + |∩A_i|。
步骤 6/7
目标：计算三把钥匙都不能打开对应锁的情形数
三把钥匙都不能打开对应锁，即没有一把正确，情形数为总数减去至少一把正确：7! - 1824 = 5040 - 1824 = 3216。
公式：7! - |A_1 ∪ A_2 ∪ A_3|
提示：所求事件是至少一把正确的对立事件。
步骤 7/7
目标：计算所求概率
概率 = 3216 / 5040 = 67/105。化简分子分母同除以48得67/105。
公式：P = (7! - 3×6! + 3×5! - 4!) / 7! = 67/105
提示：最终结果需化为最简分数。
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