北京大学 2021年强基第14题
📝 题目
设正整数 $m, n$ 均不大于 2021 ，且 $\displaystyle \frac{m}{n+1}\lt \sqrt{2}\lt \frac{m+1}{n}$ ，则这样的数组 $(m, n)$ 个数为 $\_\_\_\_$。
💡 答案解析
答案： 3449 解：原式等价于 $\sqrt{2} n-1\lt m\lt \sqrt{2}(n+1)$ ， 记区间 $I_{n}=(\sqrt{2} n-1, \sqrt{2}(n+1))$ ． 则 $I_{j} \cap I_{j+1}=(\sqrt{2}(j+1)-1, \sqrt{2}(j+1))$ ，且 $I_{j} \cap I_{k}=\varnothing(k \geqslant j+2)$ ． 由于 $\sqrt{2}(j+1)$ 不为整数，故 $I_{j} \cap I_{j+1}$ 内恰有一个整数， 当 $n \geqslant 1430$ 时，$\sqrt{2} n-1\gt 2021$ ， 故所求数组 $(m, n)$ 的个数是诸 $\left|I_{n}\right|(n=1,2, \cdots, 1429)$ 之和， 每个 $m \in\{1,2, \cdots, 2021\}$ 都出现在某个 $I_{n}$ 之中，且当且仅当对于 $j, m \in I_{j} \cap I_{j+1}$ 时，$m$ 会出现在两个 $I_{n}$ 内， 因此，所求数组个数为 $2021+1428=3449$ 。
📋 详细解题步骤
步骤 1/5
目标：将不等式转化为关于m的区间形式
由原不等式得 √2 n - 1 < m < √2 (n+1)，记区间 I_n = (√2 n - 1, √2 (n+1))。
公式：√2 n - 1 < m < √2 (n+1)
提示：注意不等式的方向，确保转化正确。
步骤 2/5
目标：分析相邻区间的关系
计算 I_j 与 I_{j+1} 的交集为 (√2 (j+1) - 1, √2 (j+1))，且当 k ≥ j+2 时交集为空。
公式：I_j ∩ I_{j+1} = (√2 (j+1) - 1, √2 (j+1))
提示：利用区间端点比较，注意√2是无理数。
步骤 3/5
目标：确定每个交集内整数的个数
由于√2 (j+1)不是整数，区间(√2 (j+1)-1, √2 (j+1))的长度为1，恰含一个整数。
公式：区间长度 = 1
提示：无理数保证区间端点不是整数，因此整数唯一。
步骤 4/5
目标：确定n的取值范围
当n≥1430时，√2 n - 1 > 2021，此时区间内无整数，故n从1到1429。
公式：√2 n - 1 > 2021 ⇒ n > 2022/√2 ≈ 1429.5
提示：计算近似值，注意n为整数。
步骤 5/5
目标：计算数组总数
每个整数m∈[1,2021]至少出现在一个I_n中，且当m在交集内时出现两次。交集个数为1428（n=1到1428），故总数=2021+1428=3449。
公式：总数 = 2021 + 1428 = 3449
提示：注意交集个数比n的最大值少1。
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