北京大学 2021年强基第15题
📝 题目
有三个给定的经过原点的平面，过原点作第四个平面 $\alpha$ ，使之与给定的三个平面形成的三个二面角均相等，则这样的 $\alpha$ 的个数是 $\_\_\_\_$。
💡 答案解析
答案： 1 或 4 解：若三个平面法向量共面（记平面为 $\beta$ ），则只有一个和他们均垂直的平面满足要求，这是因为 $\alpha$的法向量在 $\beta$ 上的投影必须在这三个平面法向量两两形成的角的角平分线上，因此投影只能是零向量，也就是 $\alpha$ 的法向量需要与 $\beta$ 垂直。 若三个平面法向量不共面，则任意两个法向量所在基线均有两个角分面，我们考虑第一个平面和第二个平面的两个角分面，以及第二个平面和第三个平面的两个角分面，一共可以产生四条交线，这四条交线即为第四个平面法向量的基线．极特殊情况，前三个平面如果两两垂直，即可以考虑空间直角坐标系中 $x O y, y O z, z O x$ ，与他们三个夹角一样的第四个平面法向量的方向，即为每个卦限的中分线，一共四条，对应四个平面。 【注】非常容易产生的一种错误是认为此题的答案仅有 4 ，这是因为没有考虑三个平面的法向量共面的情形。
📋 详细解题步骤
步骤 1/5
目标：分析三个给定平面的法向量是否共面
设三个平面的法向量为n1, n2, n3。若它们共面，则存在一个平面β包含它们；若不共面，则它们张成整个空间。
提示：注意法向量共面意味着三个平面交于一条直线。
步骤 2/5
目标：情况1：法向量共面时求解α的个数
此时α的法向量必须垂直于β，且与n1,n2,n3夹角相等。这样的方向唯一，故只有一个α。
提示：α的法向量在β上的投影为零向量。
步骤 3/5
目标：情况2：法向量不共面时考虑角分面
对于任意两个法向量，存在两个角分面（平分其夹角）。取第一、二个平面的两个角分面，与第二、三个平面的两个角分面，共有四条交线。
提示：每条交线对应一个可能的α的法向量方向。
步骤 4/5
目标：验证特殊情况：三个平面两两垂直
例如xOy, yOz, zOx平面，此时四个角分面分别指向四个卦限的中心，对应四个α。
提示：此时法向量为(±1,±1,±1)方向。
步骤 5/5
目标：综合两种情况得出答案
若三个平面法向量共面，则α有1个；若不共面，则α有4个。因此答案为1或4。
提示：注意不要遗漏共面情形。
📷 拍照上传批改
拍照上传批改功能已预留入口，后续接入图片上传、OCR识别与AI批改。