北京大学 2021年强基第16题
📝 题目
若 $a, b, c$ 为非负实数，且 $a^{2}+b^{2}+c^{2}-a b-b c-c a=25$ ，则 $a+b+c$ 的最小值为 $\_\_\_\_$。
💡 答案解析
答案： 5 解：$(a+b+c)^{2} \geqslant a^{2}+b^{2}+c^{2}-a b-b c-c a=25$ ， 当 $(a, b, c)=(5,0,0),(0,5,0)$ 或 $(0,0,5)$ 取等。
📋 详细解题步骤
步骤 1/4
目标：建立目标表达式与已知条件的关系
注意到要求a+b+c的最小值，考虑将其平方后与已知等式关联。
公式：(a+b+c)^2 = a^2+b^2+c^2+2(ab+bc+ca)
提示：平方和公式
步骤 2/4
目标：利用非负实数性质放缩
由于a,b,c非负，有ab+bc+ca ≥ 0，因此(a+b+c)^2 ≥ a^2+b^2+c^2 - ab - bc - ca = 25。
公式：(a+b+c)^2 ≥ a^2+b^2+c^2 - ab - bc - ca
提示：移项后利用非负性
步骤 3/4
目标：求解最小值
由(a+b+c)^2 ≥ 25，得a+b+c ≥ 5，最小值为5。
公式：a+b+c ≥ 5
提示：开方取正
步骤 4/4
目标：验证等号成立条件
等号成立当ab+bc+ca=0且a^2+b^2+c^2=25，结合非负性得其中一个为5，其余为0。
公式：ab+bc+ca=0
提示：非负实数乘积为零
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